高等应用数学基础 教学课件 作者 王英杰 王新芳 电子教案(3).doc

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1、教案四教学内容2.2极限的运算法则2.2.1极限的四则运算法则设＝，＝（这里lim下面没有标的变化趋势，表示本法则对的各种变化趋势都适用，以后不再说明），则有法则1；法则2；推论（1）为常数）；（2）；法则3。以上法则1和法则2可推广到有限个函数极限的情形。例1.求）。解：（）=－。例2.求解：===。2.2.2计算有理式极限的运算法则例3.求解：因为分母极限=－=0，故不能利用法则3。但在的过程中，，在分式中可约去分子与分母的公因子，所以。上例中，在时，函数的分子、分母极限都是0，我们称这种极限为型未定式极限，致使函数的分子、

2、分母极限都是零的因子，我们称它为零因子。对于此类极限我们的解决方法是分子、分母采用约分的方法消去零因子，使函数转化为能用法则求极限的形式。例4.求解：此极限为型未定式极限，为零因子，所以=。例5.求解：当时，分子和分母的极限都不存在，故不能利用法则3。对于这类极限，我们可以先用函数分子、分母中的最高次同除分子与分母，然后根据基本极限，再求极限：=。例6.求解：当时，分子和分母的极限都不存在，我们先用函数分子、分母中的最高次同除分子与分母，然后根据基本极限，再求极限：=。例7.求解：当时，分子和分母的极限都不存在，我们先用同除分子

3、与分母，然后根据基本极限，再求极限：=。2.2.3无穷小量与无穷大量的运算法则1.无穷小量与无穷大量的定义（1）无穷小定义2.9如果当（或）时，函数0，那末，称为当（或）时的无穷小量，简称无穷小。例如，是当1时的无穷小，时的无穷小。（2）无穷大定义2.10如果当（或）时，函数∞，那末，称为当（或）时的无穷大量，简称无穷大。记作=∞或=－∞，=+∞。例如，是当1时的无穷大，时的无穷大。对“无穷小”、“无穷大”的概念需要注意以下几点：1）一个函数是无穷小或无穷大，与自变量的变化趋势有关，因此，“称呼”一个函数是无穷小或无穷大时，必须

4、指明的变化趋势。例如，－1在1时是无穷小，而当2时，－1不是无穷小。2）绝对值很小的常数不一定是无穷小，绝对值很大的常数也不一定是无穷大。例如0.00001不是无穷小，1000000不是无穷大。3）常数中只有“0”是无穷小，常数中没有无穷大。（3）无穷小与无穷大的关系定理2.1在自变量的同一变化过程中，1）若为无穷小，且，则为无穷大；2）若为无穷大，则为无穷小。例如，→∞时，无穷小，是无穷大。利用这一性质可以解决如下一类极限问题。例8.求解：因为，所以=.例9.求解：当时，分子和分母的极限都是无穷大，我们称这种极限为型未定式极限

5、。我们先用函数分子、分母中的最高次同除分子与分母，然后根据基本极限，再求极限：=但上式极限的分母极限为0，故不能用极限运算法则。因为=所以，。一般地，。（4）函数极限与无穷小的关系定理2.2在自变量的变化过程中：==+其中是同一变化过程中的无穷小。例如，因为，所以，，其中=0。2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下性质：性质1有限个无穷小的代数和为无穷小。性质2有界函数与无穷小的乘积为无穷小。性质3有限个无穷小的乘积为无穷小。证明从略。例10.求解：因为=0，即是有界函数，所以由性质2可推得＝0。类似地，利用性

6、质2可知，，。3.无穷小的比较由无穷小的定义可知，凡是无穷小，它们都趋于零。但它们趋于零的“速度”有的差别很大，如当0时，2，都是无穷小，但它们趋于零的过程中，比2显然要“快”的多。为了表达无穷小的这种特点，我们引入无穷小“阶”的概念。定义2.11设与是同一变化过程中的两个无穷小（=0，=0）1）若=0，则称是比高阶的无穷小；2）若=∞，则称是比低阶的无穷小；3）若=为常数），则称与是同阶无穷小；4）若=1，则称与是等价无穷小，记作。根据以上定义可知，当0时，是比2高阶的无穷小，2是比低阶的无穷小，2与3是同阶的无穷小。重点、难

7、点重点：极限的四则运算法则、无穷小量与无穷大量的运算法则难点：无穷小量与无穷大量的定义教学方法、教学手段教学方法：讲授法，练习法教学手段：课堂教学教学建议（1）讲解过程与练习过程合理组合；（2）提问与交流讨论相结合；小结与课外作业