高等应用数学基础 教学课件 作者 王英杰 王新芳 电子教案(8).doc

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1、教案十一教学内容第四章导数的应用函数的导数在各个领域中有着广泛的应用。本章在函数导数的基础上讨论函数的单调性、极值、最大（小）值、凹凸性、拐点等问题。4.1微分中值定理中值定理是研究函数在区间上整体性质的有力工具。4.1.1拉格朗日中值定理定理4.1（拉格朗日中值定理）若函数（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得。由定理4.1的条件和结论可以推出如下定理：定理4.2（罗尔定理）若函数在区间上满足（1）区间上连续；（2）在开区间内可导，且在区间端点上的函数值相等，即，则在内至少存在一点，使得。例1.函数在区间[0，

2、2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件？如果满足，求使结论成立的。解：由基本初等函数的连续性知，函数在其定义域（）内连续。所以，在区间[0，2]上也必连续；函数的导函数在区间（0，2）内存在。所以，在区间（0，2）内可导。因此，函数在区间[0，2]上满足拉格朗日中值定理的条件，于是有4.1.2拉格朗日中值定理的推论推论设函数在区间上可导，且，则函数在区间上必为一常数。证明：在区间上任取一点，对于上任意一个异于的，在以与为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，得这里在与之间，由于在上恒有，所以，，即这说明，在区间上的函数值都等于，即函数在区间上必为一

3、常数。例2.证明：证明：设函数，显然在（-1，1）上可导，且它的导数恒等于零，即，由推论知，在（-1，1）上恒有=当时，所以4.2利用导数研究函数的性态4.2.1函数的单调性在第一章中定义过函数的单调性，并且用定义判别了一些简单函数的单调性。但是，对于较复杂函数的单调性，定义的方法可能无法判别。下面介绍一种利用导数判别函数单调性的方法。定理4.3若函数在开区间内可导，则函数在开区间内递增（递减）的充分必要条件是：。定理4.4若函数在开区间内可导，则函数在开区间内严格递增（递减）的充分必要条件是：（1）对一切；（2）在内任何子区间上。推论若函数

4、在开区间内可导，若，则函数在开区间内严格递增（递减）.由以上的定理可知，所谓函数的单调性，就是判断它在哪些区间内递增，在哪些区间内递减。所以，可导函数的单调性可以根据其所在区间上导数的符号予以判断。例1.求函数的单调区间。解：（1）确定函数的定义域：函数的定义域（）；（2）求函数的一阶导数，并确定函数的一阶导数为零的点和一阶导数不存在点：令；函数无一阶导数不存在点；（3）用函数的一阶导数为零点和不存在点划分定义域为若干子区间，并判断各个子区间上一阶导数的符号，从而确定各个子区间上函数的单调性，列表表示：（）1（1，2）2（）+0—0+由上表可

5、知，函数在（）和（）内递增，在（1，2）内递减。此外，利用函数的单调性我们还可以证明不等式。例2.证明不等式：当时，。解：设，定义域（，函数在上连续。由于当时，成立。所以，函数在上严格递增，从而，当时即有，当时，成立。4.2.2函数的极值函数的极值是函数的一种局部性态，它能使我们进一步了解函数的变化状况，为准确地描绘函数的图象提供不可缺少的信息，它又是讨论函数最大值和最小值问题的关键。定义4.1设函数在点一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于的任意，有（1），则称为函数的极大值，称为函数的极大点；（2），则称为函数的极小值，称为函数的极小点；函

6、数的极大值和极小值统称为函数的极值，函数的极大点和极小点统称为函数的极值点。函数的极值是一个局部概念，它们是函数局部范围内的最大值或最小值。而函数的最大值或最小值是指定区域内的整体性态，二者不可混淆。图4—1显示，一个函数的极值可以有若干个，而且极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值，另外，极值点只能在区间的内部，不能在区间的端点。最大值或最小值则不然，一个函数的最大值和最小值只能有一个，而且最大值一定比最小值大，它可以在区间的内部取得，也可以在区间的端点取得。定理4.5（极值的必要条件）设函数在点可导，且取得极值，则本定理只对可导函

7、数而言。对于导数不存在点也可能达到极值，如在处导数不存在，但在处取得了极小值0。定义4.2使函数一阶导为零的点称为函数的驻点。即使的为函数的驻点。综上所述，函数的极值点必定是函数的驻点或一阶不可导点，但函数的驻点或一阶不可导点不一定是函数的极值点。定理4.6（极值的第一充分条件）设函数在点处连续，在的某一去心邻域内可导，若的符号满足：（1）在的左侧为负，右侧为正，则在点处取极小值；（2）在的左侧为正，右侧为负，则在点处取极大值；（3）在的左、右两侧同号，则在点处不取极值。以上定理理解为，一个连续函数，如果它的自变量经过某一点时，它的一阶导数的

8、符号发生改变，则函数在该点处就取得极值。一般地，确定函数极值的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求函数的一阶导数，并确定函数的一阶导数为零的点和一阶导数不存在点