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时间:2020-03-13
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1、等腰三角形的判定哈师大呼兰实验学校刘冲教学目标 1.掌握等腰三角形的判定定理,并能够较灵活地运用它进行有关证明. 2.渗透逆向思维,类比研究问题的方法.教学重点和难点 重点是等腰三角形的判定定理;难点是等腰三角形的判定与性质的区别.教学过程设计 一、运用逆向思维及类比联想探索等腰三角形的判定方法 1.复习等腰三角形的性质. 学生总结等腰三角形的性质. (1)从边看:等腰三角形的两腰相等.(定义) (2)从角看:等腰三角形的两底角相等.(性质定理) (3)从重要线段看:等腰三角形底边上的高、中线与顶角的平分线互相重合.(性质定理的
2、推论1) 2.构造等腰三角形的性质的逆命题. (1)教师提问:具备什么条件的三角形是等腰三角形?为什么? 引导学生回答:根据等腰三角形的定义,两边相等的三角形是等腰三角形.不要说成“两腰相等的三角形是等腰三角形”. (2)让学生类比联想构造性质定理的逆命题.注意纠正语言上不严谨的错误,不要说成:“如果一个三角形有两个底角相等,那么它是等腰三角形。” 逆命题可以有以下几种叙述方法: ①如果一个三角形的两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形;(突出逆命题判定等腰 三角形的功能.) ②如果一个三角形的两个
3、角相等,那么这个三角形的两条边相等; ③如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等或“等角对等边”.(突出说明已知相等的两角与所得相等的两边的关系.) (3)让学生根据逆命题画出图形,探索逆命题是否成立,并写出已知、求证.已知:如图3-116△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC. 二、类比联想,证明逆命题. 1.分析思路:引导学生类比等腰三角形性质的证明,添加辅助线,构造以AB,AC为边的两三角形,并证明它们全等.需注意,此时辅助线可作AD⊥BC于D,(D点必落在线段BC的内部,为什么?)或 AD平分∠BAC交BC于D,但不能作BC
4、边上的中线,因为 SSA条件无法直接用来证明两三角形全等,也无法利用其它辅助手段来证明. 2.得出等腰三角形的判定定理. 三、应用举例,变式练习 例1求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形. 引导学生根据命题画图,利用平分线的性质及“等角对等边”来证明.例2课本第76页的例2,见图3-117. 重点分析以下两点: (l)如何把实际问题翻译成几何命题; (2)如何根据题意画出图形,关键在于用角度表示平面内的方向的方法。 例3有关等腰三角形的基本图形. (1)如图3-118,若OD平分∠AOB
5、,DE//OB交OA于E.求证:EO=ED. 提问:这个结论的逆命题是否正确? (2)如图3-118若OD平分∠AOB,EO=ED,求证:DE//OB. (3)如图3-118若DE//OB交OA于E,EO=ED,求证:OD平分∠AOB.总结:图3-118是有关等腰三角形的一个很常用的基本图形.以上三个小题说明:在图3-118中,“角平分线、平行线、等腰三角形”这三者中,若有两条成立,则第三条必成立.熟悉这个结论,对解决包含该图形的较复杂的题目是很有帮助的,例4 有关图3-118的题组练习. (1)如图3-119,AD//BC,BD平分
6、∠ABC.求证:AB=AD. (2)已知:如图3-120(a)AB=AC,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.问:①图中有几个等腰三角形?②如图3-120(b),若过D作EF//BC交AB于E,交AC于F,图中又增加了几个等腰三角形?(3)如图3-120(c),若将第(2)题中的△ABC改为不等边三角形,其它条件不变,情况会如何?还可证出哪些线段的和差关系?(答:EF=BE+CF) (4)对第(3)题中“两内角平分线”可作怎样的推广?相应的线段和差关系如何? 推广① 当过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时,如图3-120
7、(d),EF=BE-CF.推广②当过△ABC的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时,如图3-120(e),EF=AE+CF.(5)如图3-121,若BD,CD分别平分∠ABC和∠ACB,过D作DE//AB交BC于E,作DF//AC交BC于F.求证:BC的长等于△DEF的周长. (6)把一张长方形纸条,像图3-122那样折叠,重合部分是什么形状?为什么?例5如图3-123.△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于D,BE平分∠ABC交AD于E,AF平分∠CAD交DC于F,连结EF.指出图中的全等三角形、等腰三角形,并说明理由. 例6
8、已知:如图
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