高一平面向量的数量积.doc

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1、年级高一学科数学内容标题平面向量的数量积编稿老师褚哲一、学习目标1.掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.2.了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度、垂直问题，掌握向量垂直的条件.3.理解平面向量数量积的应用，在解题过程中体会化归思想及数形结合思想.二、重点、难点重点：掌握平面向量的数量积及其几何意义.用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.难点：平面向量数量积的综合应用.三、考点分析从近几年的高考试题看，平面向量的数量积是高考命题的热点，主要考查平面向量数量积的运算、几

2、何意义、模与夹角、垂直问题等.（1）客观题——考查数量积的定义、性质及运算律，难度较低.（2）主观题——以平面向量的数量积为工具，考查其综合应用，多与函数、三角函数、不等式等知识联系在一起，难度中等.1.两个向量的夹角：作，则称作向量与的夹角，记作<，>，并规定<，>当<，>=时，则^，且规定零向量与任意向量垂直.2.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量

3、

4、

5、

6、cosq叫做与的数量积，记作×，即×=

7、

8、

9、

10、cos<，>，，并规定与任意向量的数量积为0.3.向量在数轴上

11、的正射影：向量在数轴上的正射影的数量平面向量的数量积的几何意义：数量积×等于的长度

12、

13、与在的方向上的投影

14、

15、cosq的乘积.4.两个向量的数量积的性质设、为两个非零向量，是单位向量（1）×=×=

16、

17、cos<，>；（2）^Û×=0（3）当与同向时，×=

18、

19、

20、

21、；当与反向时，×=-

22、

23、

24、

25、，特别地×=

26、

27、2（4）cosq=；（5）

28、×

29、≤

30、

31、

32、

33、5.平面向量数量积的运算律（1）交换律：×=×（2）数乘结合律：()×=(×)=×()（3）分配律：(+)×=×+×6.平面向量数量积的坐标表示（1）已知两个向量，

34、，则.（2）设，则.（3）平面内两点间的距离公式如果A、B，那么.（4）向量垂直的判定两个非零向量，，则.（5）两向量夹角的余弦设，是非零向量，是与的夹角，记作，则=.7、向量的应用（1）在平面几何方面的应用.（2）在物理方面的应用.知识点一：平面向量数量积的运算例1：已知下列命题：①；②；③；④其中正确命题的序号是_______.思路分析：平面向量数量积的运算律不同于实数的运算律，它虽满足交换律、分配律、数乘结合律，但不满足消去律和结合律.解题过程：②、④解题后思考：掌握平面向量数量积的含义，平面向量

35、数量积的运算律不同于实数的运算律.例2：已知，，若：（1）；（2）；（3）的夹角为，分别求的值.思路分析：利用平面向量数量积定义求解.解题过程：（1）当时，=或=.（2）当时，=.（3）当的夹角为时，=.解题后思考：熟练应用平面向量数量积的定义求值，注意两个向量夹角的确定及分类的完整性.变式训练：已知，，求的值.解：知识点二、夹角问题例3：若，且，求向量与向量的夹角.思路分析：求两个向量的夹角，根据平面向量数量积的夹角公式，只需先求出它们夹角的余弦值，然后即可求解.解题过程：依题意得又解题后思考：注意两

36、个向量的夹角共起点，在解题过程中应灵活应用两个向量夹角的两种求法.变式训练：已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角.解：将两边平方得，则，故的夹角为.例4：已知两单位向量与的夹角为，若，试求向量与的夹角的余弦值.思路分析：利用及求解.解题过程：由题意，，且与的夹角为，所以，，同理可得而，设为与的夹角，则解题后思考：向量的模的求法和向量间的乘法计算由此题可见一斑.知识点三：向量模的问题例5：已知向量满足，且的夹角为，求的值.思路分析：涉及向量模的问题一般利用求解.解题过程：，且的夹角为；解题后思考：涉及向

37、量模的问题一般利用求解，注意对式子两边开平方是常用的方法.变式训练：（1）已知向量，若不超过5，则的取值范围是（）A.B.C.D.（2）已知的夹角为，，，则等于（）A.5B.4C.3D.1解：（1），，故选C.（2），，解得，故选B.知识点四：两向量的平行与垂直例6：已知平面向量＝（1，x），＝（2x＋3，－x），x∈R.（1）若⊥，求x的值；（2）若∥，求

38、－

39、.思路分析：若，是非零向量，则^Û×=0，且当，，则，而当∥时，解题过程：（1）若⊥，则·＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋

40、x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.（2）若∥，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，＝(1，0)，＝(3，0)，∴

41、－

42、＝

43、(1，0)－(3，0)

44、＝

45、(－2，0)

46、＝＝2.当x＝－2时，＝(1，－2)，＝(－1，2)，∴

47、－

48、＝

49、(1，－2)－(－1，2)

50、＝

51、(2，－4)

52、＝＝2.解题后思考：应注意区别两向量平行、垂直时，向量的坐标表示形式.知识点五：