2009届全国名校真题模拟专题训练3-数列解答题2（数学）.doc

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1、2009届全国名校真题模拟专题训练03数列与数学归纳法三、解答题(二)51、(广东省四校联合体第一次联考)已知函数且任意的、都有（1）若数列（2）求的值.解：（1）而（2）由题设，有又得上为奇函数.由得于是故52、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为Tn求证：．解：（Ⅰ）∴当时，，即是等比数列．∴；……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若为等比数列，则有而故，解得，………………………………

2、7分再将代入得成立，所以．………………………………………………………………8分（III）证明：由（Ⅱ）知，所以，…………………………………………………9分由得所以，……………………12分从而．即．…………………………14分53、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列。（I）求的值；（II）求的通项公式。（III）（理做文不做）由数列中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b}，求的值。解：（I），，，因为，，成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．……理4分（文6分）

3、（II）当时，由于，，……，所以。又，，故．当n=1时，上式也成立，所以……理8分（文12分）（III）bn=32n-2-3n-1+2,∴=9.……理12分54、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)已知数列中，（1）求证：数列与都是等比数列；（2）求数列前的和；（3）若数列前的和为，不等式对恒成立，求的最大值。解：（1）∵，∴2分∴数列是以1为首项，为公比的等比数列；数列是以为首项，为公比的等比数列。4分（2）9分（3）当且仅当时取等号，所以，即，∴的最大值为－4855、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知等差数列的公差大于0,且

4、是方程的两根,数列的前n项的和为，且.（1） 求数列，的通项公式；（2）记,求证：.解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程的两根，且数列的公差d>0，∴a3=5，a5=9，公差∴………………3分又当n=1时，有b1=S1=1－当∴数列{bn}是等比数列，∴…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知…………9分∴∴…………………………12分56、(河北省正定中学高2008届一模)设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有，记Sn为数列{an}的前n项和.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若（为非零常数，n∈N+），问是否存在整数，使得对任意n∈N+，都有

5、bn+1>bn.解：（1）在已知式中，当n=1时，∵a1>0∴a1=1………………………………………………………………1分当n≥2时，①②①－②得，∵an>0∴==2Sn－an∵a1=1适合上式…………………………3分.当n≥2时，=2Sn－1－an－1④③－④得－=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+an－1=an+an－1∵an+an－1>0∴an－an－1=1∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n………………5分（2）∵∴⑤………………………………………………………….7分当n=2k－1，k=1，2

6、，3，……时，⑤式即为⑥依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ<1………………………………..9分当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为⑦依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立，∴……………………………………………………………………………..11分∴∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有bn+1>bn……………………………12分57、已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．（1）求数列的通项公式．（2）若，求数列的前项和．（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式.解：（1

7、）点都在函数的图像上，,当时，当ｎ＝1时，满足上式，所以数列的通项公式为…….3分（2）由求导可得过点的切线的斜率为，..①由①×4，得②①-②得：………………………………………………………………..7分（3）,.又，其中是中的最小数，.是公差是4的倍数，.又，,解得ｍ＝27.所以，设等差数列的公差为，则，所以的通项公式为…………12分58、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知是数列的前项和，，且，其中.(1)求数列的通项公式；(2)(理科)计算的值.(文科)求.解：①　　　　　---------2分又也满足上式，（）数列是公比为2

8、，首项为的等比数列-----------4分--------------6分②②　　　-------------（9分）于是---------------（12分）