资源描述：
《短期聚合风险模型.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第六章短期聚合风险模型[知识要点]1、短期聚合风险模型对于,其中N表示保险期内所有承保保单发生索赔的次数随机变量，Xi表示第I次发生理赔时的理赔额随机变量，S为保险期内的理赔总额随机变量。Xi对不同的i是独立同分布的，N与各Xi是独立的。称此模型为短期聚合风险模型。2、理赔次数和理赔额的分布（1）泊松分布的定义、分布列、期望与方差、矩母函数：（2）负二项分布的定义、分布列、期望与方差、矩母函数。负二项分布可以看作是泊松分布的一种推广，假设泊松参数也是一个随机变量，且有密度函数f(x)，由全概率公式有：而：特别地，当λ的密度为，x＞0时
2、，N服从参数r=a,p=β/1+β的负二项分布。（3）S的分布问题假设S的分布函数和密度函数分别为F（x）和f(x),则：除用卷积方法之外，还可以用矩母函数法及逆转公式来求S的分布，由矩母函数的定义有：其中X是与各Xi同分布的随机变量。也就是说，若知道Xi和N的矩母函数，就可计算出S的矩母函数，而4、复合泊松分布在聚合风险中，当N服从泊松分布时，S的分布就称为复合泊松分布。这样：E（S）=E（X）•E（N）=λ•E（X）其中λ为泊松参数。关于复合泊松分布有如下的几个定理和规律：（1）如果S1，S2，…，Sm是相互独立的随机变量，且Si
3、服从参数为λi的复合泊松分布，理赔额的分布为Pi(x),i=1,2,…,m,则服从参数为的复合泊松分布，且个别理赔额分布为：（2）对于一个复合泊松分布随机，可以分解为：个别理赔额的分布列为：Xx1x2…xmPp1p2…pm则N1，N2，…，Nm相互独立且Ni服从参数为λi=λpi的泊松分布，其中λ为S的泊松参数。对于此定理，若xi仅取正整数值，则理赔总额S的密度函数为：对于此定理，还有更普遍的推广，也就是说在聚合风险模型中，若理赔额只取正整数，理赔次数N的分布满足：(n=1,2,…)（3）在复合泊松分布中，若保险标的损失随机变量为X，
4、保险合同有一个免赔额d，即，X>d,X≤d是其真正的理赔额随机变量，泊松参数为λ，则带免赔的理赔总额S仍是复合泊松分布，泊松参数变为λ•P（x>d),个别理赔额的分布密度函数为：5、聚合理赔量的近似模型（1）正态近似定理如果S是复合泊松分布，泊松参数为λ，个别理赔额的数学期望μ与方差σ2有界，则：定理如果S服从复合负二项分布，参数为r,p,个别理赔额随机变量的数学期望与方差分别为有界的μ与σ2，则：（2）平移伽马近似定义其中，g（x）为Γ(α,β)分布的概率密度函数，h（x）为相应的平移x0个单位的平移伽马分布的概率密度函数。由定义知
5、平移伽马分布有三个参数x0，α,β，如果能定出这三个参数，这个分布也就已知。求解下面的方程组可解决这一问题：[重点及难点解析]本章的重点内容是复合泊松分布，包括当个别理赔额是正整数时的复合泊松分布，另外，理赔总额S分布的正态近似及平移伽马近似也是本章的重点内容。当然，对重点内容可以进行引申，譬如当索赔次数分布为负二项分布、几何分布、超几何分布、二项分布等；更简单的还有二点分布，这时聚合风险模型与个别风险模型有相通之处。当然，个别索赔额的分布形式更加多样，特别是当个别索赔额随机变量的取值仅为正整数值时，是本章的难点。下面看几个例子，以便
6、让读者有一些感性认识。例1一组一年期的定期寿险组合，每份保单的保险金额都相同为B个单位元，索赔次数N服从泊松分布，参数为λ，以下陈述中哪一项是不正确的？A、E(S)=E(N)•B=λBB、Var(S)=Var(N)•B2C、S的可能取值为0，B，2B，…D、E(X)=B,Var(X)=B2E、P(S≤Bx)=P(N≤x)解由聚合风险模型有：E(S)=E(N)E（X）=λ•B所以A正确。Var(S)=E2（X）Var(N)+E（N）•Var(X)=B2•λ所以B正确。由于每次理赔额均为常数B，所以在保险期内索赔总额仅取B的倍数，所以C正
7、确。依题意有：P（X=B）=1所以E（X）=BM，Var(X)=0所以D错误。因为S=BN所以P（S≤BX）=P（BN≤BX）=P（N≤X）所以E正确。所以选D。例2保险人承保了保险金额为1万元的一年定期意外险保险单1000份，假设投保人出险的概率是独立的，每个被保险人索赔的概率为0.0002，求索赔总额超过12000元的概率。以上两道例题有相似之处，理赔额均为常数，这样索赔总额S的E（S）为：例3设Si，i=1，2，…，n,是一系列相互独立的且具有相同分布的复合负二项分布，负二项分布的参数分别为K和P，个别索赔额的密度函数为ƒ(x)
8、,令：，下面有关S的陈述哪一项是错误的？A、S仍是复合负二项分布B、S的个体索赔额的密度函数仍为ƒ(x)C、复合负二项分布具有可加性所以S的分布仍是复合负二项分布，参数为nk和P，个别索赔额的密度函数仍为ƒ(x)，因此A
