风险理论短期聚合风险模型

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1、第六章短期聚合风险模型6.1引言1、定义：短期聚合风险模型对于?=??，其中?表示保险期内所有承保保单发?=??生索赔的次数随机变量，?表示第?次发生理赔时的理?赔额随机变量，?为保险期内的理赔总额随机变量。??对不同的?是独立同分布(?.?.?)independentandidenticallydistributed的，?与各??是独立的。称此模型为短期聚合风险模型用?表示某类保单在单位时间内发生理赔的次数，??表示该类保单在此期间第?次理赔的金额，则该类保单在此期间的理赔总量?可表示为：??>???+??+⋯+??=?=????=(6.1.1)??

2、=?称之为短期聚合风险模型其中：1、?取值于非负整数，而且??=?>?,它是与保单组合的理赔发生频率有关的随机变量，一般称之为理赔数变量。2、??是取值于整数(连续或离散)的用于测量每次独立理赔量额度大小的随机变量，而且有???=?=?，一般称之为理赔额变量。假设：1、?、??相互独立；2、??具有相同的分布，即??都是同质风险；其分布为?(?)、概率密度?(?)；短期聚合风险模型的分布，就是研究如何用?的分布和??的分布来表示?的分布?的分布：二项分布、泊松分布、负二项分布等离散型分布；??的分布：指数分布、对数正态分布、伽玛分布等取值于正半实轴

3、的连续分布；命题6.1.1设X和Y是任意的随机变量，而且数学期望和方差都存在，则有：??=????(6.1.2)????=??????+???[?(?

4、?)](6.1.3)一、联合密度与边际密度（离散随机变量?,?）?(?,?)=(??,??)=???,?=0,1,…,n,j=0,1,…,n???称为(?,?)的联合分布，用如下分布表表示：??????…??????????…??????????????…???…………???????????…??????课堂作业：已知(?,?)的概率分布表如下：??11.51.31.210.200.201.20.2

5、0001.400.2000.90000.2求(?,?)的边际分布,即???=?(?=??)，???=?(?=??)课堂作业：已知(?,?)的概率分布表如下：??11.51.31.2?????=10.200.20??1=0.4??=1.20.2000??2=0.2??=1.400.200??3=0.2??=0.90000.2??4=0.2???0.40.20.20.2?=1????求(?,?)的边际分布,即???=?(?=??)，???=?(?=?)?二、条件概率与条件期望1)若X与Y均为离散型随机变量，则EXY(

6、y)xpX(xY

7、y)

8、x以上题为例，求?????，?(?

9、?=??)

10、二、条件概率与条件期望2)若X与Y有联合密度函数?(?,?)，则EXY(

11、y)xf(

12、)xydxXY

13、三、条件期望与条件方差的性质1)对于随机变量X与Y有yEXY(

14、y)pY(y)EXEEXY[(

15、)]EXY[

16、yf]()ydyY以上题为例，求?(??)?练习：设在一个指定的时间内供给一水电公司的电能ξ是一个随机变量,且ξ在[10,30]上服从均匀分布.该公司对于电能的需要量η也是一个随机变量,且η在[10,20]上服从均匀分布.对于所供给的电能,公司取

17、得每千瓦0.03元利润,如果需要量超过所能供给的电能,公司就从另外的来源取得附加的电能加以补充,并取得每千瓦0.01元利润,问在所考虑的指定时间内,公司所获得的利润的期望值是多少?条件期望的应用例解:设T是公司所获得的利润,则0.03,T0.030.01(),当x[10,20)时,x1201E(T

18、x)0.03ydy(0.01y0.02x)dy1010x1020.050.04x0.001x当x[20,30]时,由全概率公式,得201E(T

19、x)0.03ydy0.4510101201302E(E

20、(T

21、))(0.050.040.001x)dx0.45dx201020200.43例1、已知连续抛掷一枚硬币出现正面的概率为?，现抛掷该硬币直至出现正面，问需要抛掷的次数的数学期望是多少？解:设N为需要抛掷的次数，记1,第一次抛出正面；Y0,第一次抛出反面；故又因为ENY(

22、1)1,(ENY

23、0)1EN1从而有ENp(1p)1ENEN.p例2、一名矿工被困在一个有三个通道的矿井之中，从第一个通道行进两个小时后将到达安全地带；从第二个通道行进三个小时后将绕回矿井原地；从第三个通道行进五个小时后将绕回矿井原地.

24、假定该矿工对此矿井的通道情况完全未知，那么他到达安全