《短期聚合风险模型》PPT课件

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1、第三章短期聚合风险模型《风险理论》第一节短期聚合风险模型的概念设N是给定时期中风险事故发生次数，Xi是第i次风险事故的损失，则这一时期的总损失为S=X1+X2+……+XN一般情况下，风险事故发生次数N为随机变量，因此短期聚合风险模型表现为一个随机过程。第二节短期聚合风险模型的特点短期个别风险模型与短期聚合风险模型的区别：假设有10个风险载体，标号分别为#1、#2、…、#10。在1年内共发生5次损失事故。第i次事故12345损失0.651.241.190.302.47风险载体标号#7#2#3#5#7试计算总损失量S。第二节短期聚合风险模型的特点个体模型：S=X1+X2+…+X10其中Xi为

2、第i个风险载体的损失量。S=第1号个体损失+第2号个体损失+……+第10号个体损失=0+1.24+1.19+0+0.30+0+(0.65+2.47)+0+0+0=5.85聚合模型:S=X1+X2+…+X5其中Xi为第i次事故导致的损失量；S=第1次事故损失+第2次事故损失+…+第5次事故损失=0.65+1.24+1.19+0.30+2.47=5.85教材《短期个体风险模型》书后练习1（参见课件第2章）X=抛5次硬币获得的正面朝上数；Y=抛X个骰子获得的点数；求：E[Y]和Var[Y]解1：利用短期个体风险模型理解为：分别抛5个硬币，对于所抛的每个硬币，如果朝向就抛一个骰子，记下点数W。于

3、是Y=W1+W2+W3+W4+W5。其中，Wi是第i个硬币朝上时抛骰子所获得的点数。W=IB，I=硬币朝上的值（0或1），q=Pr(I=0)=Pr(I=1)=1/2B=骰子的点数（1~6），P(B=j

4、I=1)=1/6,j=1,2,…,6µ=E[B

5、I=1]=(1+2+3+4+5+6)/6=7/2E[B2

6、I=1]=(1+4+9+16+25+36)/6=91/6σ2=Var[B

7、I=1]=35/12E[Y]=5µq=5(7/2)(1/2)=35/4Var[Y]=5[µq(1-q)+σ2q]=5[(47/4)(1/2)(1/2)+(35/12)(1/2)]=1085/48解2：利用短期聚合

8、风险模型第三节总损失S的分布X的k阶原点矩为pk=E[Xk]；X的矩母为Mx(t)=E[etX];N的矩母为MN(t)=E[etN];S的矩母为MS(t)=E[etS];E[S]=E[E[S

9、N]]=E[E[∑Ni=1Xi

10、N]]=E[NE[Xi]]=E[Np1]=p1E[N];Var[S]=E[Var[S

11、N]]+Var[E[S

12、N]]=E[Nvar[X]]+Var[NE[X]]=E[N]Var[X]+Var[N](E[X])2=(p2-p12)E[N]+p12Var[N];第三节总损失的分布练习1设理赔次数N服从几何分布，即Pr（N=n）=pqn;n=0,1,2,……其中，p=1-q

13、，0

14、123fN(n)0.10.30.40.2fX(x)0.50.40.1解N：{0,1,2,3}X：{1,2,3}N=n0123X=x123fN(n)0.10.30.40.2fX(x)0.50.40.1因N最大为3，X最大为3，所以S最大为9。fS(x)=Pr(S=x)=∑n=0,1,2,3f*n(x)fN(n)f*n(x)=Pr(X1+X2+…+Xn=x)=∑ally≤xPr(X1+X2+…+Xn-1+Xn=x

15、Xn=y)Pr(Xn=y)=∑ally≤xf*(n-1)(x-y)f(y)特别地，f*0(x)=Pr(0=x)当且仅当x=0时,f*0(0)=1f*1(x)=Pr(X1=x)f*2

16、(x)=Pr(X1+X2=x)f*3(x)=Pr(X1+X2+X3=x)例题（续）xf*0f*1f*2=f*ff*3=f*2*ffS(x)01.00.00.00.100010.50.50.150020.40.40.250.220030.10.10.400.1250.215040.260.3000.164050.080.3150.095060.010.1840.040870.0630.012680.0120.002490.0010.0