短期个别风险模型与短期聚合风险模型关系

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1、短期个别风险模型与短期聚合风险模型关系杨顺华赵喜仓（江苏大学财经学院，江苏镇江212012）［摘要］本文证明了短期个别风险模型当理赔次数随机变量为0-1分布时，可以寻求一个短期聚合风险模型与之等价；更为重要的，当个别风险模型的索赔次数随机变量服从较小参数的Poisson分布时，也可以寻求到一个复合Poisson分布与之近似。为此，本文解决了一些特定风险损失随机变量和的分布计算问题，Panjer迭代是其计算基础。［关键词］风险理论；Panjer迭代；短期个别风险模型；短期聚合风险模型［中图分类号］F84

2、0.62［文献标识码］A［文章编号］1004-3306（2007）12-0058-02Abstract：Itisprovedthattheshort　termIndividualRiskModelsareequivalenttotheshort　termCollectiveRiskModelswhenthenumber　of　claimrandomvariablehas0　1distribution.Furthermore,theIndividualRiskModelisclosetoacompoun

3、dPoissondistributionifthenumber　of　claimrandomvariablehasaPoissondistributionwithsmallparameter.BasedonthePanjerIteration,theproblemofcalculatingdistributionofrandomvariableofaggregateclaimsissolved.Keywords：risktheory;panjeriteration;short　termindividu

4、alriskmodels;short　termcollectiveriskmodels短期个别风险模型一般都要用到大次数的卷积运算，随着风险单位数或保单数目的增加，卷积运算的运算量会逐渐增大，并且十分繁琐，给风险管理决策人员及有关工程技术人员乃至军事决策者的快速反应造成极大障碍。为此，笔者对在实务中应用广泛的短期个别风险模型的运算进行了研究，并得出了一些结论,这些结论可有效地解决短期个别风险模型的计算问题。这些结论的核心思想是寻求短期个别风险模型与短期聚合风险模型的关系，而短期聚合风险模型中复合Poi

5、sson模型又可以用Panjer迭代算法解决总损失额的分布计算问题，由两个模型之间的关系，进而可以得到短期个别风险模型的总损失额或总和随机变量S的分布。一、结论与证明结论一：对于个体风险模型：S=∑n()i=1Xi=∑n()i=1IiBi(1)其中：Ii的分布列为：Ii()01P()1-pp而且Bi，i=1,2,…,n,那么有：S=∑n()i=1Bi(2)当N~B（n，p）时，（1）与（2）表述的S是同一概率分布。证明：对于（1）式，其矩母函数为：MS(t)=E(ets)=Eet∑n()i=1Xi=E

6、et∑n()i=1IiBi=［E(etIiBi)］n=E［E(etIiBi

7、Ii)］n=P(Ii=0)E(e0)+P(Ii=1)E(etBi)n=（1-p）·1+p·E（etBi)n=(1-p)+p·MBi(t)n(3)再推导（2）式的矩母函数：MS（t）=MN(lnMBi(t))=1-p+p·elnMBi(t)n=1-p+pMBi(t)n（4）可见（1）式与（2）式表达的随机变量S的矩母函数是一样的。故在题设的情形下，短期个别风险模型与短期聚合风险模型是统一的。顺着这样的思路，我们可给出应用性更广泛

8、的Poisson分布的一个猜想：对于：S=∑n()i=1Xi=∑n()i=1IiBi(5)Ii~P(λ)i=1,2,…,n与S=∑n()i=1Bi(6)N~P(n·λ)那么（5）式与（6）式表达的随机变量S是否是同一分布呢？我们给出证明如下。证明：对于（5）式的S，其矩母函数为：MS（t）=E(ets)=Eet∑n()i=1Xi=Eet∑n()i=1IiBi=［E(etIiBi)］n=E［E(etIiBi

9、Ii)］n=P(Ii=0)E(e0)+P(Ii=1)E(etBi)+P(Ii=2)E(etBi·

10、2)+P(Ii=3)E(etBi·3)+…n=λ0()0!e-λ·1+λ1()1!e-λ·E（etBi）+λ2()2!e-λ·E（etBi·2）+λ3()3!e-λ·E（etBi·3）+…n［作者简介］杨顺华，博士，现供职于江苏大学财经学院；赵喜仓，教授，博士生导师，现任江苏大学财经学院院长。=［e-λ+λe-λMBi(t)+λ2()2!e-λMBi(2t)+λ3()3!e-λMBi(3t)+…］^n（7）对于（6）式的随机变量S，我们求矩母函数如下：M