函数的单调性及极值.ppt

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1、一、函数单调性的判定二、函数的极值及其求法第2节函数的单调性及极值三、函数的最值及其求法下一页上一页返回单调性是函数的重要性态之一，在第1章中我们已经给出了函数单调性的定义，可以看出，用定义判定函数的单调性是比较困难的，这里我们将利用导数来判定函数的单调性．一、函数单调性的判定下一页上一页返回设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导.(1)若在(a,b)内f(x)>0，则函数y=f(x)在[a,b]上单调减少.(2)若在(a,b)内f(x)<0，则函数y=f(x)在[a,b]上单调增加.定理1(函数单调性的充分条件)下一页上一页返回证明在[a,b]上任取两点x

2、1,x2，不妨设x10，x∈(a,b),则f(x)>0,于是可得[a,b]上单调增加.(2)若f(x)<0，x∈(a,b),则f(x)<0,于是可得[a,b]上单调减少.下一页上一页返回几何意义：若曲线y=f(x)在某区间内的切线与x轴正向夹角是锐角，则曲线在该区间内上升；若这个夹角是钝角，则曲线在该区间内下降．说明：（1）闭区间[a,b]若为开区间、半开区间或无穷区间，结论同样成立．（2）定理1表明，可以根据导数的正负判定可导函数的单调性．如果函数的导数仅在个别点处为零，而在其余点处均满足定理1的条件，那么定理1的结论仍然成立．下

3、一页上一页返回确定函数f(x)单调性的一般步骤：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求出一阶导数f(x)，确定使f(x)=0及f(x)不存在的点；（3）用（2）所得的点将定义域划分为若干子区间，列表确定f(x)在各个子区间内的符号，进而判定函数f(x)的单调区间．下一页上一页返回例1解(1)该函数的定义区间为(,)(2)f(x)=x2-3x-4=(x+1)(x-4)，令f(x)=0，得x1=-1，x2=4的单调区间．(3)列表讨论如下(表中记号↗表示单调增加，记号↘表示单调减少）：x(,-1)(-1,4)(4,)f(x)-f(x)下一页上一页返回所以(

4、-∞,-1)和(4,+∞)是f(x)的递增区间,(-1,4)是f(x)的递减区间.此例说明，导数为零的点可能是单调区间的分界点．另外，导数不存在的点也可能是单调区间的分界点．例如，函数y=︱x︱在点x=0处连续，但它在x=0处不可导．在区间(-∞,0)内，y′<0，函数单调减少；而区间(0，+∞)内y′>0，函数单调增加，所以点x=0是函数单调区间的分界点．下一页上一页返回例2证明下一页上一页返回极值是函数的一种局部性态，能为我们准确描绘函数图形提供更详细的信息，同时在求函数的最大值和最小值问题时发挥重要作用．下面介绍函数极值的定义，讨论函数极值的求法．二、函数的极值及其求法下一页上一页

5、返回定义设函数y=f(x)在点x0及其左右近旁有定义，若对于x0的左右近旁异于x0的x恒有(1)f(x0)>f(x)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值，x0称为f(x)的极大值点；(2)f(x0)

6、而言，一个函数可能有若干个极大值或极小值，而且有的极大值可能比有的极小值还小．下一页上一页返回定理2(极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且f(x0)为极值，则必有f(x0)=0.即f(x0x)-f(x0)<0，x0.证明(1)设f(x0)是极大值，则必有由定理条件知f(x0)存在，故有下一页上一页返回几何意义：可导函数的图形在极值点处的切线与x轴平行.驻点：使得导数f(x0)=0的点x0.定理2说明，可导函数的极值点必是驻点.反之，函数的驻点不一定是极值点．另外，一阶不可导点也可能是极值点.下一页上一页返回例如，x=0是函数f(x)=x3的驻点而不是它的极值点；函

7、数f(x)=︱x︱在x=0处不可导，但f(0)=0是它的极小值.驻点和一阶不可导点统称为函数的极值嫌疑点.那么极值嫌疑点是不是极值点，如果是极值点，它是极大值点还是极小值点，如何判断？为了解决这些问题有下面的定理：下一页上一页返回定理3(极值的第一充分条件)设函数f(x)在点x0的左右近旁可导(在点x0处可以不可导，但必须连续)，若当x在x0的左右近旁由小于x0连续地变为大于x0时，f(x0)改变符号，则函数f(x)在点x0取得极