函数的单调性及极值课件.ppt

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1、第四章中值定理与导数应用第一节中值定理第二节罗必塔法则第三节函数的单调性与极值第四节函数的凹凸性与函数图像的描绘第五节第三节函数的单调性及极值一、函数单调性的判定法二、函数的极值及其求法三、最大值与最小值问题定理1一、函数单调性的判定法证应用拉氏定理,得定理１告诉我们，讨论函数的单调性，需要求出函数的导数，判别导函数的符号．其中，一阶导数为零的点是取正值或负值的区间的分界点，这样的点称为驻点．于是，讨论可导函数的单调性可按下列步骤进行：1.求出函数的定义域；2.求出，并令，解此方程求出驻点；3.用驻点把定义域分割成若干部分区间，在每个部分区间上判定的符号：若，则在该区间增加；若，则

2、在该区间单调减少．例1解：例2解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:例3解单调区间为例4解单调区间为例5证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,例6证明：当x>1时，证令则二、函数极值及其求法定义定理1(必要条件)定义注意:函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.定理2

3、(第一充分条件)(是极值点情形)求极值的步骤:(不是极值点情形)例7解列表讨论极大值极小值定理3(第二充分条件)证同理可证(2).例8解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.三、最大值最小值问题步骤:1.求驻点和不可导点;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)2设f(x)在(a,b)内的驻点为x1,x2,…xn,则比较f(a),f(x1),…,f(xn),f(b)的大小,其中最大的便是f(x)在[a,b]上的最大值,最小的便是f(x)在[a,b]上的最小值．例9解计算比较得例10把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁（图3－17）.问矩形截面的高

4、h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大.解由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题由图3－17看出，b与h有下面的关系：因而图3－17解得由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（0，d）内部取得；现在，在（0，d)内只有一个根当时，w的值最大，这时，实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;小结1.函数单调性的判定法2.函数的极值及其求法3.最大值与最小值问题