青岛版八年级数学2.4线段的垂直平分线.ppt

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1、2.4线段的垂直平分线青岛版八年级上观察如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称，问线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？我发现我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图.已知点A与点A′关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直线l既平分线段AA′，又垂直线段AA′.●●lAA′D21(A)我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P，连接PA，PB，线段PA，PB之间有什么关系？探究探究作关于直线l

2、的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合.从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPNM结论线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.由此得出线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明这一结论吗?已知:如图,AC=BC,MN⊥AB于点C,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.ACBPMN老师期望:你能说出规范的证明过程吗?解:因为MN⊥AB(已知)所以∠PCA=PCB=90°(垂直的定义)在⊿PCA和⊿PCB中,因为AC=BC,(已知)∠PCA=PCB,(已证)PC=PC,(公共边)所以△PCA≌△

3、PCB(SAS)因此PA=PB(全等三角形的对应边相等).ACBPMN老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.动脑筋我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？（1）当点P在线段AB上时，因为PA=PB，所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.（2）当点P在线段AB外时，如下图所示.因为PA=PB，所以△PAB是等腰三角形.过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PC⊥AB，且AC=BC.因此直线PC是线段AB的垂直

4、平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.结论到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：例已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.举例证明∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴OA=OB.同理OB=OC.∴OA=OC.∴点O在AC的垂直平分线上.练习1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE的度数.答：∠CAE=50°.2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求

5、证：AO=BO.证明：∵AC=BC，AD=BD，∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，∴CD为线段AB的垂直平分线.又AB与CD相交于点O∴AO=BO.做一做如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线.根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，要作线段AB的垂直平分线，关键是找出到线段AB两端距离相等的两点.因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点.动脑筋如何过一点P作已知直线l的垂线呢？由于两点确定一条直线，因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.用尺规完成下列作图（只保留作

6、图痕迹，不要求写出作法）.1.如图，在直线l上求作一点P，使PA=PB.练习2.如图，作出△ABC的BC边上的高.如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）.A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm中考试题例解析∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).又∵在△BCE中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，∴BE+CE=10cm.∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故应选择C.C结束