高考数学人教新课标A版课件 第6篇4-2.ppt

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1、第二讲　随机变量的数字特征与正态分布重点难点重点：理解掌握随机变量的期望、方差的概念和正态分布的概念．难点：随机变量的期望与方差的意义、正态曲线的性质．知识归纳1．离散型随机变量的均值、方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它刻画了离散型随机变量取值的平均水平．称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．方差和标准差刻画了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．(1)若Y＝aX＋b，其中a、b为

2、常数，则Y也是随机变量．P(Y＝aX＋b)＝p(X＝xi)，i＝1,2，…，n，E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X)．(2)随机变量X的方差是它与期望E(X)差的平方的数学期望，即D(X)＝E(X－E(X))2.2．两点分布、二项分布、超几何分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．(3)若X服从参数为N、M、n的超几何分布，则E(X)＝.3．正态分布(1)正态曲线函数f(x)＝x∈R

3、.其中实数μ和σ为参数，我们称f(x)的图象为正态曲线．服从正态分布的随机变量叫做正态变量．正态随机变量X落在区间[a，b]内的概率为：即由正态曲线，过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是随机变量X落在区间[a，b]的概率的近似值，如下图．(2)正态分布一般地，如果对于任何实数a

4、量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．把μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布．②正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布．如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等．③一般地，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线关于直线x＝μ对称；③曲线只有一个最大值，在x＝μ处达到最大值；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如下图．⑥当μ一定时，曲线的形状由σ

5、确定．σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如右图．注意：性质①说明函数的值域为正实数集的子集，且以x轴为渐近线；性质②是曲线的对称性，关于直线x＝μ对称；性质③说明函数在x＝μ时取得最大值，性质④说明正态变量在(－∞，＋∞)内取值的概率为1，性质⑥说明当均值一定σ变化时，总体分布的集中、离散程度．(4)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ

6、(ξ)表示随机变量ξ对E(ξ)的平均偏离程度.D(ξ)越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之D(ξ)越小，ξ的取值越集中．(2)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E(ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．它们都由ξ的分布列唯一确定．(3)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，在记忆和使用此结论时，请注意D(aξ＋b)≠aD(ξ)＋b，D(aξ＋b)≠aD(ξ)．一、概率的思想1．随机变量的期望和方差是从全局上分别描述随机变量取值平均水平和离散程度的，它是随机变量的重要特征值，它是以随机变量的概率分布为前提的

7、，所以要理解、计算期望和方差，离不开概率．2．3σ原则服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．这就是正态分布的3σ原则．二、化归思想将正态变量在任意区间上的概率化归为特殊区间的概率后求值．[例1]已知随机变量ξ的分布列为那么ξ的数学期望E(ξ)＝________，设η＝2ξ＋1，则η的数学期望E(η)＝________.解析：由离散型随机变量的期望公式及性质可得，E(ξ)[例2]已知某篮球运动员投篮的命中率

8、为0.8.(1)记他投篮一次命中次数为ξ，求ξ的期望与方差．(2)设他各次投篮是否命中互不影响，求他10次投篮中命中次数ξ的期望与方差．分析：(1)投篮一次可能命中，也可能不中，投中次数ξ取值0,1，ξ服从参数p＝0.8