2020届新高考数学艺考生总复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第5节基本不等式冲关训练.docx

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1、第5节基本不等式1．下列命题正确的是(　　)A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x＋≥4B．若a<0，则a＋≥－4C．若a>0，b>0，则lga＋lgb≥2D．若a<0，b<0，则＋≥2解析：D　[当sin2x＝1时，1＋1＝2<4，所以A错；若a<0，则a＋≤－4，B错；因为lga，lgb可以小于零，C错；由a<0，b<0，所以，都大于零，D正确．]2．已知00.∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.当x＝1－x，即x＝时取等号

2、．]3．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)A．3B．4C．5D．6解析：C　[由已知正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，∴m＋n＝(a＋b)＋≥2＋＝5，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故m＋n的最小值为5，故选C.]4．(2019·长春质检)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)A.＋有最大值4B.有最小值C.＋有最大值D．a2＋b2有最小值解析：C　[由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，∴≤，∴ab≤，＋＝＝≥4，因此＋的最小值为4，a2

3、＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋1＝2，所以＋有最大值，故选C.]5．(2019·宿州一模)若圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0关于直线l：ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值为(　　)A．1B．5C．4D．4解析：D　[圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心为(2,1)，圆C关于直线l：ax＋by＝2对称，∴圆心在l上，∴2a＋b＝2，∴a＋＝1.又a＞0，b＞0，∴＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，∴＋的最小值为4.]6．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为_

4、_______．解析：因为x＞1，所以x－1＞0.又x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以a的最大值为3.答案：37．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是________．解析：＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴与共线，∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1.∵a＞0，b＞0，∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋4＝8，当且仅当＝，即b＝2a时等号成立．答案：88．(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨

5、，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是__________．解析：总费用4x＋×6＝4≥4×2＝240，当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．答案：309．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋≥2＝2c，＋≥2＝2b，＋≥2＝2a.以上三式相加得：2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.10．已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)得(

6、1)∵x＞0，y＞0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0，∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·2，∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.