专题1-集合与常用逻辑用语、不等式--第1讲--集合与常用逻辑用语、不等式.docx

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1、集合与常用逻辑用语1．设集合A＝{x

2、x2－4x＋3<0}，B＝{x

3、2x－3>0}，则A∩B等于(　　)A.B.C.D.答案　D解析　由A＝{x

4、x2－4x＋3<0}＝{x

5、1

6、2x－3>0}＝，得A∩B＝＝，故选D.2．设a，b是向量，则“

7、a

8、＝

9、b

10、”是“

11、a＋b

12、＝

13、a－b

14、”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　D解析　若

15、a

16、＝

17、b

18、成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以

19、a＋b

20、＝

21、a－b

22、

23、不一定成立；反之，若

24、a＋b

25、＝

26、a－b

27、成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以

28、a

29、＝

30、b

31、不一定成立，所以“

32、a

33、＝

34、b

35、”是“

36、a＋b

37、＝

38、a－b

39、”的既不充分也不必要条件．3．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2答案　D解析　原命题是全称命题，条件为∀x∈R，结论为∃n∈N*，使得n≥x2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论

40、，只有D选项符合．1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断.热点一　集合的关系及运算1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；(

41、3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．例1　(1)已知集合M＝{x

42、x2－2x－8≤0}，集合N＝{x

43、lgx≥0}，则M∩N等于(　　)A．{x

44、－2≤x≤4}B．{x

45、x≥1}C．{x

46、1≤x≤4}D．{x

47、x≥－2}(2)若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{

48、a，b，c}}；③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是____________．答案　(1)C　(2)②④解析　(1)M＝{x

49、－2≤x≤4}，N＝{x

50、x≥1}，考查交集的定义，由数轴可以看出M∩N＝{x

51、1≤x≤4}．(2)①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，所以①错；②④都满足集合X上的一个拓扑的集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故③错．所以答

52、案为②④.思维升华　(1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn图或数轴求解．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．跟踪演练1　(1)若全集U＝{0,1,2,4}，且∁UA＝{1,2}，则集合A等于(　　)A．{1,4}B．{0,4}C．{2,4}D．{0,2}(2)设集合M＝{x

53、m≤x≤m＋}，N＝{x

54、n－≤x≤n}，且M，N都是集合{x

55、0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x

56、a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度

57、”的最小值是(　　)A.B.C.D.答案　(1)B　(2)C解析　(1)集合A＝∁U(∁UA)＝{0,4}，故选B.(2)由已知，可得即0≤m≤，　即≤n≤1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝，N＝.所以M∩N＝∩＝.此时集合M∩N的“长度”的最小值为－＝.故选C.热点二　四种命题与充要条件1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．2．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．例2　(1)下列命题：①已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m⊥α，n⊂β，则“α⊥β

58、”是“m∥n”的必要不充分条件；②不存在x∈(0,1)，使不等式log2x