复变函数与积分变换 留数.ppt

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1、§5.2留数一、留数的概念二、留数的计算方法三、留数定理四、函数在无穷远点的留数一、留数的概念将在的去心邻域设为函数的孤立奇点，定义称为在处的留数，记作：内展开成洛朗级数：(两边积分)其中，C是的去心邻域内绕的一条简单闭曲线。P112定义5.4(留数的产生)而且在使用该方法时，并不需要知道奇点的类型。二、留数的计算方法若为的可去奇点，方法1.可去奇点若为的本性奇点，方法2.本性奇点则“只好”将在的去心邻域内展开成洛朗级数。(1)在具体展开的时候，并不需要写出“完整”的洛朗级数，注只需将其中负一次幂的系数求出来

2、就可以了。(2)对于不是本性奇点的情况，该方法有时也是很有效的，则理由二、留数的计算方法3.极点方法(法则)若为的m阶极点，P115法则Ⅲ(法则)(1)若为的简单极点，特别则(2)若且在点解析，则P114法则ⅡP114法则Ⅰ二、留数的计算方法方法3.极点P115法则Ⅲ若为的m阶极点，二、留数的计算方法3.极点特别则(2)若且在点解析，事实上，此时为的简单极点，故有是的可去奇点，解(1)和均为的一阶极点，(2)(罗比达法则)是的三阶极点，解(1)为的二阶极点，(2)(麻烦)函数有四个简单极点，解同理是的本性奇点

3、，解将在的去心邻域内洛朗展开，有是的本性奇点，解将在的去心邻域内洛朗展开，有是的本性奇点，解将在的去心邻域内洛朗展开，有是的一阶极点，解(1)是的本性奇点，(2)(证明是本性奇点?)方法一利用洛朗展式求留数解将在的去心邻域展开，得由于是三阶极点，解方法二利用极点的留数计算法则求解(罗比达法则)因此有(好麻烦!)解方法二利用极点的留数计算法则求解若“不幸”将判断成了的六阶极点，巧合?(非也!)注(1)此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。(2)若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，而不一定非得使用下面即将

4、介绍的留数定理。DC…三、留数定理处处解析，在边界C上连续，定理设在区域D内除有限个孤立奇点外注意只需计算积分曲线C所围成的有限区域内奇点的留数。如图，将孤立奇点用含于D内且证明互不重叠的圆圈包围起来，根据复合闭路定理有则P113定理5.7解被积函数在内有两个奇点：可去奇点一阶极点P116例5.21解被积函数在内有两个奇点：一阶极点二阶极点解被积函数的奇点为但在内只有两个简单级点：解被积函数在内有两个奇点：简单级点解令为的本性奇点，将在内展开为洛朗级数：解令为的101阶极点。将在内展开为洛朗级数：解方法一利用

5、极点的留数计算法则求解(罗比达法则)为被积函数的二阶极点，方法二利用高阶导数公式求解方法三利用洛朗展式求解解将被积函数在的去心邻域展开，DC四、函数在无穷远点的留数设想如图，设C是一条简单闭曲线，一般说来,闭路积分只与该闭路所包围的区域内的奇点有关，但为什么又要引入无穷远点的留数呢？将曲线C围成的区域记为D，而曲线围成的区域记为甚至只有无穷远点为奇点，则如果区域D内的奇点很多，显然比计算等式左边的积分要“省心”的多。则计算等式右边的积分但区域内的奇点很少，四、函数在无穷远点的留数1.函数在无穷远点的性态定义如

6、果函数在无穷远点的去心邻域内解析，则称点为的孤立奇点。则点对应于点相应地，记为因此，函数在无穷远点的性态可由函数在原点的性态来刻画。手段令P108P108定义5.3解令记为则均为的奇点，可知由于不是的孤立奇点，因此不是的孤立奇点。P111例5.13四、函数在无穷远点的留数1.函数在无穷远点的性态记为解令则由于是的可去奇点，因此是的可去奇点。四、函数在无穷远点的留数1.函数在无穷远点的性态P110例5.10记为解令则由于是的一阶极点，因此是的一阶极点。试判断奇点的类型。设例四、函数在无穷远点的留数1.函数在无穷

7、远点的性态记为由于是的本性奇点，因此是的本性奇点。解令则试判断奇点的类型。设例四、函数在无穷远点的留数1.函数在无穷远点的性态P111例5.12四、函数在无穷远点的留数2.函数在无穷远点的留数1.函数在无穷远点的性态域内解析，设函数在圆环定义其中，C为其中，c为函数在“有限”孤立奇点的留数为:对比则在点的留数为：§5.2留数P117定义5.5无穷远点的留数的完整介绍四、函数在无穷远点的留数2.函数在无穷远点的留数1.函数在无穷远点的性态如何计算在无穷远点的留数？推导如图，公式则令已知P118法则Ⅳ四、函数在

8、无穷远点的留数2.函数在无穷远点的留数1.函数在无穷远点的性态在无穷远点的留数有何用处？则定理设在扩充平面上除有限个孤立奇点证明如图，则外处处解析，即证。令充分大，即P117定理5.8解函数在内有四个一阶极点由留数定理有解(1)函数在内有五个一阶极点由留数定理有(2)解休息一下……附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义回顾则对应于相应地，记为因此，函数在无穷远点的性态可由函数在原点的性态来刻画