6、处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则Dz1z2z3znC1C2C3CnC[证]把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中(z-z0)-1项的系数c-1即可.但如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利.如果z0是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,则有一些对求c-1有用的规则.注意定理中的条件要满足。例如不能应用留数定理。2.留数的计算规则规则1
7、如果z0为f(z)的一级极点,则规则2如果z0为f(z)的m级极点,则事实上,由于f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+..., (z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令两端zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得规则2,当m=1时就是规则1。即得规则3。由规则1,得我们也可以用规则3来求留数:这比用规则1要简单些.例5解：所以原式=例
8、4解：z=0为一级极点。3.在无穷远点的留数设函数f(z)在圆环域R<
9、z
10、<内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作f(z)在圆环域R<
11、z
12、<内解析：理解为圆环域内绕的任何一条简单闭曲线。这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R<
13、z
14、<+内洛朗展开式中z-1的系数变号.定理二如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.证：除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n).且C为一条绕原点
15、的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有所以规则4成立.定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法,在很多情况下,它比利用上一段中的方法更简便.例6证明：
