复变函数与积分变换第五章-留数及其应用.ppt

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1、第五章留数及其应用§5.1孤立奇点§5.2留数的一般理论§5.3函数在无穷远点的留数§5.4留数的应用主要内容本章介绍孤立奇点、留数的概念；孤立奇点处留数的计算；并将其应用于实函数积分的计算.§5.1孤立奇点1可去奇点2极点3本性奇点本章将利用函数的Laurent级数展开式研究函数在孤立奇点处的性质.如果函数f(z)在z0点不解析,则称z0是f(z)的一个奇点.如果z0是f(z)的一个奇点,且存在d>0,使得f(z)在内解析，则称z0是f(z)的孤立奇点.例如z=0是函数和的孤立奇点.但z=0都是奇

2、点.不是函数的孤立奇点,因为则f(z)可以展开为Laurent级数其中C是z0为中心,半径小于的圆周的正向.根据Laurent级数展开式的系数cn的不同情况,可以把f(z)的孤立奇点进行分类.若z0是f(z)的孤立奇点，此时f(z)在圆环域内解析,根据Laurent级数展开定理，5.1.1可去奇点定义5.1如果f(z)在内的Laurent级数中不含有的负幂项,即当时,则称z0是f(z)的可去奇点.此时这个幂级数的收敛半径至少为,和函数(z)在z0处解析.无论f(z)在z0是否有定义,可定义反之

3、,若在内解析,且极限存在，则是的可去奇点.则在内解析.事实上:由于存在,函数f(z)在z0点某个去心邻域内有界，即存在两个正数M和r<,使得在内，有又因为f(z)在内解析,所以其中并且取正向.于是根据当n为负整数时,令0,得定理5.1设f(z)在内解析,则z0是f(z)的可去奇点的充分必要条件是存在极限其中c0是有限复常数.这样我们有两种方法来判别函数f(z)的奇点z0是否为可去奇点.1.由定义判断:如果f(z)在z0的Laurent级数无负幂项,则z0是f(z)的可去奇点.2.由极限判断：若

4、极限存在且为有限值,则z0是f(z)的可去奇点.如果补充定义:所以z=0是的可去奇点.例5.1因为在内的展开式为无负幂项或者则f(z)在全平面解析.5.1.2极点定义5.2如果f(z)在的Laurent级数展开式中只含有有限个的负幂次项,即只有有限个(至少一个)整数使得则称z0是f(z)的极点.如果存在正整数m,使得而对于整数有则称z0是f(z)的m级极点.当z0是f(z)的m级极点时,Laurent级数展开式其中于是令则g(z)在内解析，且即反之,对内的解析函数f(z),如果不妨设在内,令则F(z

5、)在内解析，并且所以z0是F(z)的可去奇点,于是在内,F(z)的Laurent级数展开式为即定理5.2设f(z)在内解析，则并且存在使得而于是其中G(z)在内解析，令所以其中g(z)在那么z0是f(z)的m级极点.内解析，z0是f(z)的极点的充分必要条件是的Laurent展开式中含有的有限负幂项.在点的某去心邻域内有其中在的邻域内解析,且1.由定义判别：2.由等价形式判别：3.由极限判别：这样我们有三种方法来判别函数f(z)的奇点z0是否为极点.例5.2考虑函数显然,和是f(z)的孤立奇点.因为

6、所以容易看出,是f(z)的1级极点,是f(z)的3级极点.定理5.3设z0是f(z)的m级零点,则z0是的m级极点;设z0是f(z)的m级极点,则z0是的可去奇点.(零点与极点的关系)证明设z0是f(z)的m级零点,记其中在点z0解析,且则在点z0解析,因此，于是，z0是的m级极点.反之，设z0是f(z)的m级极点,记其中在点z0解析,且则在点z0解析,因此在z0处可展开成Taylor级数且于是根据的定义知,z0是函数的可去奇点.例5.3求的孤立奇点,并指出奇点的类型.解显然,是的零点，但是故是的1

7、级零点.因此,是f(z)的1级极点.推论设z0是P(z)的m级零点,也是Q(z)的n级零点,则当n>m时,z0是f(z)的n-m级极点;而当nm时,z0是f(z)的可去奇点.例5.4考虑函数设显然,z=0是Q(z)的5级零点.因为所以,z=0是P(z)的2级零点.故z=0是f(z)的3级极点.不是5级极点5.1.3本性奇点定义5.3如果f(z)在内的Laurent展开式中含有无穷多个系数非零的负幂项,即存在无限个整数n<0,使得则称z0是函数f(z)的本性奇点.例5.5z=0是和的本性奇点.这是因

8、为无穷多负幂项定理5.4设f(z)在内解析，则不存在有限或无穷的极限.z0是f(z)的本性奇点的充分必要条件是Weierstrass得到了如下重要结论：设f(z)在内解析，则z0是f(z)的本性奇点的充分必要条件是对任何有限或无穷的复数w0,都存在点列使得并且综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点Laurent级数的特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有有限个负幂项关于的最高幂为§5.2留数的一般理论1留数定义及留数基本定理2留数的计算R5.2