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1、2010年全国高中数学联赛一试一、填空题(每小题8分,共64分,)1.函数的值域是.2.已知函数的最小值为,则实数的取值范围是.3.双曲线的右半支与直线围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是.4.已知是公差不为的等差数列,是等比数列,其中,且存在常数使得对每一个正整数都有,则.5.函数在区间上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值是.6.两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.7.正三棱柱的9条棱长都相等,是的中点,二面角,则.8.方程满足的正整数解(x,y,z)的个数
2、是.二、解答题(本题满分56分)9.(16分)已知函数,当时,,试求的最大值.10.(20分)已知抛物线上的两个动点,其中且.线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.11.(20分)证明:方程恰有一个实数根,且存在唯一的严格递增正整数数列,使得.12加试1.(40分)如图,锐角三角形ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边BC的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:若OK⊥MN,则A,B,D,C四点共圆.2.(40分)设k是给定的正整数,.记,.证明:存在正整数m,使得为一个整数.这里,表示不小于实数x的最小整
3、数,例如:,.3.(50分)给定整数,设正实数满足,记.求证:.4.(50分)一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?122010年全国高中数学联赛解答1.提示:易知的定义域是,且在上是增函数,从而可知的值域为.2.提示:令,则原函数化为,即.由,,及知即.(1)当时(1)总成立;对;对.从而可知.3.9800提示:由对称性知,只要先考虑轴上方的情况,设与双曲线右半支于,交直线于,则线段内部的整点的个数为,
4、从而在轴上方区域内部整点的个数为.又轴上有98个整点,所以所求整点的个数为.4.提示:设的公差为的公比为,则(1),(2)(1)代入(2)得,求得.从而有对一切正整数都成立,即对一切正整数都成立.从而,求得,.125.提示:令则原函数化为,在上是递增的.当时,,,所以;当时,,,所以.综上在上的最小值为.6.提示:同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为,从而先投掷人的获胜概率为.7.提示:解法一:如图,以所在直线为轴,线段中点为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2,则,从而,.设分别与平面、平面垂直的向量是、,则12由此可设,所以,即.所以.解
5、法二:如图,.设与交于点则.从而平面.过在平面上作,垂足为.连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中,,即.又..8.336675提示:首先易知的正整数解的个数为.把满足的正整数解分为三类:(1)均相等的正整数解的个数显然为1;(2)中有且仅有2个相等的正整数解的个数,易知为1003;(3)设两两均不相等的正整数解为.易知,所以12,即.从而满足的正整数解的个数为.9.解法一:由得.所以,所以.又易知当(为常数)满足题设条件,所以最大值为.解法二:.设,则当时,.设,则..容易知道当时,.从而当时,,即,从而,,由知.又易知当(为常数)满足题设条件,所以最大
6、值为.1210.解法一:设线段的中点为,则,.线段的垂直平分线的方程是.(1)易知是(1)的一个解,所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点,且点坐标为.由(1)知直线的方程为,即.(2)(2)代入得,即.(3)依题意,是方程(3)的两个实根,且,所以,..12定点到线段的距离..当且仅当,即,或时等号成立.所以,面积的最大值为.解法二:同解法一,线段的垂直平分线与轴的交点为定点,且点坐标为.设,则的绝对值,,所以,当且仅当且,即,或12时等号成立.所以,面积的最大值是.11.令,则,所以是严格递增的.又,故有唯一实数根.所以,.故数列是满足题设要求的数列.若存在两个不
7、同的正整数数列和满足,去掉上面等式两边相同的项,有,这里,所有的与都是不同的.不妨设,则,,矛盾.故满足题设的数列是唯一的.加试1.用反证法.若A,B,D,C不四点共圆,设三角形ABC的外接圆与AD交于点E,连接BE并延长交直线AN于点Q,连接CE并延长交直线AM于点P,连接PQ.因为P的幂(关于⊙O)K的幂(关于⊙O)12,同理,所以,故⊥.由题设,OK⊥MN,所以PQ∥MN,于是.①由梅内劳斯(Menelaus)定理,得,②.③由①,②,③可得,所以,故△DMN∽△DCB,于是,所以BC∥MN,故OK⊥BC,即K为BC的中点,矛盾!从而四点共圆.注1:“P的
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