全国高中数学联赛精选试题.doc

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1、全国高中数学联赛考前热身训练（2014.9.2）排列组合概率1．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合．2．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）3.把扑克牌中的A、2、3、…、J、Q、K分别看作数字1、2、3、…、11、12、13，现将一幅扑克牌中的黑桃、红桃各13张放在一起，从中随机取出两张牌，其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为．（用数字作答）4.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于

2、6者为胜，否则轮由另一人投掷．先投掷人的获胜概率是．5.一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）6.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为．7.将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有　　　种．8.将号码分别为1、2、…、9的

3、九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b.则使不等式a−2b+10>0成立的事件发生的概率等于．9.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有．10.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为．11.某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相

4、互独立的，其规律为到站时刻概率一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）．12.已知C，则数列中整数项的个数为．立体几何1.在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为．2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，M、N分别是BB1、B1C1上的点，MB1=NB1=2，S、P分别是线段AD、MN的中点，则异面直线SP与AC1的距离为．3.正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角24，则．4.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于函数方程不等式1．函数的值

5、域为．2．设为正实数，，，则．3．如果，，那么的取值范围是．4.若△ABC的角A、C满足，那么=．5.已知函数的最小值为，则实数的取值范围是．6.已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，，，且存在常数，使得对每一个正整数都有，则．7.函数（，）在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是．8.设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是．9.方程组的有理数解的个数10.设的最小值为，则．11.设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，，则=．12.设实数a使得不等式

6、2x−a

7、+

8、3x−2a

9、≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是．1

10、3.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立,则的值等于．14.已知函数，则f(x)的最小值为．15.若方程仅有一个实根，那么的取值范围是16.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于．17.求函数的最大和最小值.18.已知函数（），当时，，试求的最大值．2419.设函数，实数满足，，求的值．20.（本题满分20分）设函数，求所有的正实数对，使得对任意实数，有解析几何1．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则点的坐标为．2.抛物

11、线上动点A到点B（3,0）的距离的最小值记为d（p），满足d（p）=2的所有实数p的和为．3.椭圆上任意两点，，若，则乘积的最小值为．4.已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N.求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹.5.如图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．6.设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．7.作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方．（1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；yxO

12、PAB（2）若，求△的面积．9.已知抛物线上的两个动