全国高中数学联赛数论历年真题精选.doc

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1、全国高中数学联赛数论历年真题精选(2014.09.01)（2013年全国高中数学联赛试题）二、（本题满分40分）给定正整数.数列定义如下：，对整数，记（）.证明：数列中有无穷多项是完全平方数.提示：由对称性和和谐性，求，发现和之间的递推关系，为了拉近和间的关系，最好是某个数列的相邻两项，于是想到，故考虑令，就有了的通项公式.于是令参考答案没有给出思维过程，需要大家深入思考，去领悟问题的本质，做二试题一定要达到看答案觉得那是自然的解答过程才算理解了。（2012年全国高中数学联赛试题）下面给出（2）的几种证法.证法一:

2、令消去得由于这方程必有整数解;其中为方程的特解.把最小的正整数解记为则,故使是的倍数．……40分证法二:由于由中国剩余定理知,同余方程组在区间上有解即存在使是的倍数．…………40分证法三:由于总存在使取使则存在使此时因而是的倍数．……………40分（2012年全国高中数学联赛试题）四、（本题满分５０分）设，ｎ是正整数．证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于．这里，表示不超过实数ｘ的最大整数．【解析】证法一:(1)对任意,有证法二:(1)（2011年全国高中数学联赛试题）二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存

3、在一个次多项式具有如下性质：（1）均为正整数；（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有．【解析】令，①将①的右边展开即知是一个首项系数为1的正整数系数的次多项式．下面证明满足性质（2）．对任意整数，由于，故连续的个整数中必有一个为4的倍数，从而由①知．因此，对任意个正整数，有．但对任意正整数，有，故，从而．所以符合题设要求．（2010年全国高中数学联赛试题）2．（40分）设k是给定的正整数，．记，．证明：存在正整数m，使得为一个整数．这里，表示不小于实数x的最小整数，例如：，．（2009年全国高中数学联赛

4、试题）三．（本题满分５０分）设，是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数，使得与互素．【解析】证法一：对任意正整数，令．我们证明．设是的任一素因子，只要证明：p．（2008年全国高中数学联赛试题）二、（本题满分50分）设是周期函数，和1是的周期且．证明：（1）若为有理数，则存在素数，使是的周期；（2）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足，且每个都是的周期．二.【解析】（1）若是有理数，则存在正整数使得且，从而存在整数，使得．于是是的周期．又因，从而．设是的素因子，则，，从而是的周期．（2）若是无理数，令，则

5、，且是无理数，令，，由数学归纳法易知均为无理数且．又，故，即．因此是递减数列．最后证：每个是的周期．事实上，因1和是的周期，故亦是的周期．假设是的周期，则也是的周期．由数学归纳法，已证得均是的周期．