历年全国高中数学联赛二试几何题汇总

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1、历年全国高中数学联赛二试几何题汇总2007联赛二试类似九点圆如图，在锐角ABC中，AB

2、充分性：设P是ABC的垂心，由于PEAC，PFAB，所以，B、、P、E四点共线，C、、P、F四点共线，F=FCB=FEB=FE，故、、E、F四点共圆必要性：设、、E、F四点共圆，则E+EF=注意到P=PCB=ACB-ACP，又因为是直角CEP的斜边中点，也就是CEP的外心，所以PE=2ACP。因为是直角BFP的斜边中点，也就是BFP的外心，从而20PF=-BF=-ABP因为B、C、E、F四点共圆，所以AFE=ACB，PFE=-ACB于是，由E+EF=得：（ACB-ACP+2ACP）+(-ABP+-ACB)=，即ABP=ACP。又因为AB

3、对称点，则在线段DC上且D=BD。连结A、P。由对称性，有AP=ABP，从而AP=ACP，故A、P、、C四点共圆。由此可知，PB=CAP=-ACB。又因为PBC=PB，故PBC+ACB=，即BPAC又APBC，故P是ABC的垂心2006联赛二试以和为焦点的椭圆与的边交于(i=0,1)。在的延长线上任取点，以为圆心，为半径作圆弧交的延长线于；以为圆心，为半径作圆弧交的延长线于；以为圆心，为半径作圆弧交的延长线于；以为圆心，为半径作圆弧交的延长线于。试证：（1）点与点重合，且圆弧与相内切于；（2）四点，，，共圆20证明：（1）由题设的四段圆弧有：=+=+=+=+以上四个式子相加，整理得：++=

4、++又由题设的椭圆有：+=+于是，=，即点与点重合。又因为圆弧与对应的圆心、和点三点共线，且点在线段的延长线上，所以圆弧与相内切于（2）过点、分别引相应圆弧的公切线和交于点T；再过点引相应圆弧的公切线RS，分别交、于R、S。得到等腰三角形和。基于此，我们有：-=+=(-)+(-)又-=+，从而有：20=-(+)同理可得=-(+)所以，，，，四点共圆。2005联赛二试如图，在ABC中，设AB>AC，过A作ABC的外接圆的切线L。又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线L于E、F。证明：直线DE、DF分别通过ABC的内心与一个旁心。（官方解答）证明：（1）先证DE通过ABC的内心

5、。连结DC、DE，作BAC的平分线，交DC于G，交DE于I。又AD=AC，则GAC与GAD全等，即有IAC=IAD=DAC又D、C、E在以A为圆心的圆上，则DAC=IEC故IAC=IEC，即A、I、C、E四点共圆。20于是，ACI=AEI又F、D、E在以A为圆心的圆上，则AEI=FAD又因为相切有FAD=ACB，故ACI=ACB所以，I为内心。(2)DF通过ABC的一个旁心。设FD与AI的所在直线交于，连B，BI。则BI=，而BD=ADF，又AD=AF，则ADF=AFD==，又因为相切有ABC=CAE，故BI=BD，即I、D、B、四点共圆。于是，IB=ID=，又因为ABC的平分线与其外角平

6、分线互相垂直，故B为其外角平分线。所以，为ABC的BC边外的旁心。2004联赛二试在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC＝25，BD=20，BE＝7，求AK的长。解：在直角BCE中，BC=25，BE=7，则CE=24；同理，在直角BCD中，BC=25，BD=20，则CD=15。sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=*+*=于是，AC==30，则AD=15。同理，AB==25，则AE=18。注意到：AB=BC，则A=C由于CDB=CEB=，C、D、E、B四点共圆，则

7、C=AED。于是，A=AED，则DE=AD。连FD，则DFAE，于是AF=AE=9，则AG==。由于=+，即AF*AGsinA=AF*AKsinFAK+AG*AKsinGAK其中，sinFAK=sinBCE=，sinGAK=sinCBD=将数据代进去，计算得：AK=（这里实际上使用了张角公式，而官方解答注意到GF与BC平行的关系）2003联赛二试20简证：连AB，注意到：AQP=DAQ+QDA=PBC+ABC=ABP于是