全国高中数学联赛数论真题整理.doc

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1、数论真题1.（2003）设三角形的三边分别是整数l，m，n，且l＞m＞n，已知，其中{x}＝x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．2.（2004）对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．3.（2005）对每个正整数n，定义函数（其中[x]表示不超过x的最大整数，试求：的值.4.（2007）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，k)=，其中[a

2、]表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。5.（2008）已知无穷数列｛an｝满足，，n＝4，5，…，求证：对任何正常数m，存在某个正整数n，使得m

3、。6.（2009）设，是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数，使得与互素．7.(2010)设k是给定的正整数，．记，．证明：存在正整数m，使得为一个整数．这里，表示不小于实数x的最小整数，例如：，．8.(2011)证明：对任意整数，存在一个次多项式具有如下性质：（1）均为正整数；（2）对任意正整数，及任意个互不

4、相同的正整数，均有9.(2012)试证明：集合满足（１）对每个，及，若，则一定不是的倍数；（２）对每个（其中表示在Ｎ中的补集），且，必存在，，使是的倍数