全国高中数学联赛试题分类汇编-数论(1981年-2019年).doc

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1、全国高中数学联赛试题分类汇编——数论（1981年~2019年）2019A5、在中随机选出一个数，在中随机选出一个数，则被整除的概率为．答案：解析：首先数组有种等概率的选法．考虑其中使被整除的选法数N．①若被3整除，则也被3整除．此时各有3种选法，这样的有组．若不被3整除，则，从而．此时有7种选法，有4种选法，这样的有组．因此．于是所求概率为。2019A三、（本题满分50分）设为整数，．整数数列满足：不全为零，且对任意正整数，均有．证明：若存在整数,()使得，则．解析：证明：不妨设互素（否则，若，则互素，并且用代替，条件与结论均不改变）．由数列递推关系知．①以下证明：对任意整数，有．

2、②………10分事实上，当时②显然成立．假设时②成立（其中为某个大于2的整数），注意到①，有，结合归纳假设知，即时②也成立．因此②对任意整数均成立．………………20分注意，当时，②对也成立．设整数,()，满足．若，由②对均成立，可知即，即．③若，则故．此时由于②对均成立，故类似可知③仍成立．………………30分我们证明互素．事实上，假如与存在一个公共素因子，则由①得为的公因子，而互素，故，这与矛盾．因此，由③得．又，所以．………………50分2018A四、（本题满分50分）数列定义如下：是任意正整数，对整数，与互素，且不等于的最小正整数，证明：每个正整数均在数列中出现。证明：显然或者.下

3、面考虑整数，设有个不同的素因子，我们对归纳证明在中出现.记，.时，是素数方幂，记，其中，是素数.假设不在中出现.由于各项互不相同，因此存在正整数，当时，都有.若对某个，，那么与互素，又中无一项是，故有数列定义知，但是，矛盾！因此对每个，都有.又，可得，从而与不互素，这与的定义矛盾！假设，且结论对成立.设的标准分解为.假设不在中出现，于是存在正整数，当时，都有.取充分大的正整数，使得.我们证明，对，有.对于任意，若与互素，则与互素，又在中均未出现，而，这与数列的定义矛盾，因此我们得到：对于任意，与不互素，⑴若存在（），使得，则，故，从而（因为）。⑵若对每个（），均有，则由知，必有.于

4、是，进而，即.故由知：存在（），使得，再由及前面的假设，可知，故。因此，对，均有，而，故不在中出现，这与假设矛盾！因此，若有个不同的素因子，则一定在数列中出现.由数学归纳法知，所以正整数均在数列中出现。2018B四、（本题满分50分）给定整数。证明：对任意正整数，存在正整数，使得连续个数，均是合数。证明:设是中与互素的全体整数，则，，无论正整数如何取值，均与不互素且大于，故为合数。对任意，因，故有素因子.我们有（否则，因是素数，故，但，从而，即与不互素，与的取法矛盾）.因此，由费马小定理知，现取，对任意，注意到，故有.又，故为合数。综上所述，当时，，均是合数。2017A4、若一个三

5、位数中任意两个相邻数码的差均不超过，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数是答案：解析：考虑平稳数。①若，则，，有个平稳数；②若，则，，有个平稳数；③若，则，，有个平稳数；④若，则，有个平稳数；综上可知，平稳数的个数为。2017B8、若正整数满足，则数组的个数为答案：解析：由条件知，当时，有，对于每个这样的正整数，由知，相应的的个数为，从而这样的正整数组的个数为，当时，由，知，，进而，故，此时共有2组.综上所述，满足条件的正整数组的个数为.2016A8、设是中的个互不相同的数，满足，则这样的有序数组的个数为答案：40解析：由柯西不等式知，，等号成立的充分必要条件是，即成等比数列．于是问

6、题等价于计算满足…的等比数列的个数．设等比数列的公比，且为有理数．记，其中为互素的正整数，且．先考虑的情况．此时，注意到互素，故为正整数．相应地，分别等于，它们均为正整数．这表明，对任意给定的，满足条件并以为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数的个数，即．由于，故仅需考虑这些情况，相应的等比数列的个数为．当时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列．综上可知，共有40个满足条件的有序数组．2016A四、（本题满分50分）设与均是素数，，数列定义为，，，这里表示不小于实数的最小整数。证明：对，均有成立。证明：首先注意到，数列是整数数列。对用数学归纳法。当时，由条件知，故，

7、又与均是素数，且，故必须，因此，即时，结论成立。对，设时结论成立，即，此时，故故对时，有，显然，因为，是素数，故，又是大于的自然数，故，从而与互素，故由可知。由数学归纳法知，对，均有成立。2016B8、设正整数满足，且．这样的的个数为．这里，其中表示不超过的最大整数．答案：解析：由于对任意整数，有等号成立的充分必要条件是，结合知，满足条件的所有正整数为共有个．解析：首先注意到，若为正整数，则对任意整数，若，则这是因为，当时，，这里是一个整数，故因此，当整数满足时，容易