高中数学联赛真题分类汇编—初等数论.docx

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1、高中数学联赛真题汇编——初等数论（1978T7）证明：当n、k都是给定的正整数，且n>2，k>2时，n(n－1)k－1可以写成n个连续偶数的和．解：设开始的一个偶数为2m，则此n个连续偶数的和为(2m+…+2m+2n－2)×n÷2=n(2m+n－1)．令n(n－1)k－1=n(2m+n－1)，则(n－1)k－1－(n－1)=2m．无论n为偶数还是奇数，(n－1)k－1－(n－1)均为偶数，故m=[(n－1)k－1－(n－1)]为整数．∴从(n－1)k－1－(n－1)开始的连续n个偶数的和等于n(n－1)k－1．由于n、k给定，故(n－1)k－1

2、－(n－1)确定．故证（1979二试5）在正整数上定义一个函数f(n)如下：当n为偶数时，f(n)=，当n为奇数时，f(n)=n+3，1°证明：对任何一个正整数m，数列a0=m，a1=f(a0)，…，an=f(an－1)，…中总有一项为1或3．2°在全部正整数中，哪些m使上述数列必然出现“3”？哪些m使上述数列必然出现“1”？证明：1°，当an>3时，若an为偶数，则an+1=

3、9时，出现如下的项：9→12→6→3→6→3→…；当an≤10且3an时，出现如下的项：7→10→5→8→4→2→1；总之，该数列中必出现1或3．2°当m为3的倍数时，若m为偶数，仍为3的倍数；若m为奇时，m+3是3的倍数，总之an对于一切n∈N*，都是3的倍数，于是，上述数列中必出现3，当m不是3的倍数时，(若m为偶数)与m+3(若m为奇数)都不能是3的倍数，于是an不是3的倍数，故an≠3，此时数列中必出现1．（1979二试7）某区学生若干名参加数学竞赛，每个学生得分都是整数，总分为8250分，前三名的分数是88、85、80，最低分是30分

4、，得同一分数的学生不超过3人，问至少有多少学生得分不低于60分(包括前三名)？解：8250－(88+85+80)=7997．(30+31+32+…+79)×3=50×109÷2×3=8175．即从30到79分每个分数都有3人得到时，共有8175分，此时及格学生数为20×3+3=63人．8175－7997=178．若减少3名及格的学生至少减去180分．故至多减去2名及格的学生．∴至少63－2=61人及格．(1982T12)已知圆x2+y2=r2(r为奇数)，交x轴于点A(r，0)、B(－r，0)，交y轴于C(0，－r)、D(0，r)．P(u，v)

5、是圆周上的点，u=pm，v=qn(p、q都是质数，m、n都是正整数)，且u>v．点P在x轴和y轴上的射影分别为M、N．求证：

6、AM

7、、

8、BM

9、、

10、CN

11、、

12、DN

13、分别为1、9、8、2．证明：p2m+q2n=r2．若p=q，则由u>v，得m>n，于是p2n(p2(m－n)+1)=r2，这是不可能的．(因p2(m－n)与p2(m－n)+1都是完全平方数，它们相差1，故必有p2(m－n)=0，矛盾)．故p≠q，于是(p，q)=1．若p、q均为奇数，则p2≡q2≡1(mod4)，与r2≡0或1矛盾．故p、q必有一为偶数．即p、q必有一个=2．(或直接由

14、r为奇数得p、q一奇一偶，其实r为奇数的条件多余)设p=2，则q2n=r2－22m=(r+2m)(r－2m)．即r+2m与r－2m都是q2n的约数．设r+2m=qk，r－2m=qh，其中k>h≥1，k+h=2n．∴r=(qk+qh)=qh(qk－h+1)，2m=(qk－qh)=qh(qk－h－1)，但qh是奇数，又是2m+1的约数，故h=0．r=(q2n+1)，2m+1=q2n－1=(qn+1)(qn－1)．∴qn+1=2α，qn－1=2β．(α+β=m+1，α>β)，而2=2α－2β=2β(2α－β－1)，从而β=1，α－β=1，α=2．∴m

15、=2，u=4，qn=3，q=3，n=1，v=3．

16、OP

17、=5．∴

18、AM

19、=5－4=1，

20、BM

21、=5+4=9，

22、CN

23、=5+3=8，

24、DN

25、=5－3=2．若设q=2，则同法可得u=3，v=4，与u>v矛盾，舍去．又证：在得出p、q互质且其中必有一为偶数之后．由于(pm，qn)=1，故必存在互质的正整数a，b(a>b)，使a2－b2=qn，2ab=pm，a2+b2=r．或a2－b2=pm，2ab=qn，a2+b2=r．若pm=2ab，得p=2，a

26、2m，b

27、2m，故a=2λ，b=2μ，由a，b互质，得μ=0，∴b=1，a=2m－1．qn=22m－2

28、－1=(2m－1+1)(2m－1－1)．故2m－1+1=qα，2m－1－1=qβ，(α+β=n，且α>β)．∴2=qα－qβ=qβ(qα－β－1)．由