全微分方程的解法ppt课件.ppt

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1、恰当方程（全微分方程）一、概念二、全微分方程的解法12一、概念若有全微分形式则称为全微分方程。定义:例1：所以是全微分方程.方程是否为全微分方程？解：通解则为（C为任意常数）。34问题:（1）如何判断全微分方程？（2）如何求解全微分方程？（3）如何转化为全微分方程？定理1设函数和在一个矩形区域是全微分方程中连续且有连续的一阶偏导数，则（1）证明必要性证明：因为是全微分方程，5则存在原函数，使得所以将以上二式分别对求偏导数，得到又因为偏导数连续，，即所以6（2）证明充分性设，求一个二元函数使它满足即由第一个等式，应有代入第二个等式，应有这里7因此，则因此可以取此时这里由于，故曲线

2、积分与路径无关。因此8二、全微分方程的解法(1)线积分法:或(2)偏积分法第一个等式对积分9代入第二个等式求，即可得(3)凑微分法直接凑微分得例2：验证方程是全微分方程，并求它的通解。由于解：10所以方程为全微分方程。(1)线积分法:故通解为11(2)偏积分法:假设所求全微分函数为,则有代入可得因此从而即12(3)凑微分法:由于方程的通解为：根据二元函数微分的经验,原方程可写为13例3：验证方程是全微分方程，并求它的通解。由于解：所以方程为全微分方程。(1)线积分法:14故通解为(2)偏积分法:假设所求全微分函数为,则有所以从而即15(3)凑微分法:方程的通解为：根据二元函数微

3、分的经验,原方程可写为练习：验证方程是全微分方程，并求它的通解。方程的通解为：16积分因子法一、概念二、积分因子的求法17一、定义:0),(¹yxm连续可微函数，使方程0),(),(),(),(=m+mdyyxQyxdxyxPyx成为全.微分方程则称),(yxm为方程的积分因子.例1验证是方程的积分因子，并求方程的通解。解：是全微分方程。方程通解为181.公式法:求解不容易特殊地:(两边同除)a.当只与有关时，二、积分因子的求法19b.当只与有关时，202.观察法:凭观察凑微分得到常见的全微分表达式21一般可选用的积分因子有等。可选用的积分因子有可选用的积分因子有22例2解则原

4、方程成为.的通解求微分方程1.公式法:原方程的通解为232.观察法:将方程左端重新组合,有可选用的积分因子有可选用的积分因子有因此取积分因子为原方程的通解为分组求积分因子的思想。24练习求微分方程的通解。25