《微分方程数值解法》PPT课件

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1、第五章微分方程数值解待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题I常微分方程数值解II偏微分方程数值解待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题--------Euler’sMethod§1欧拉方法(Euler’sMethod)欧拉法的局部截断误差：Rn+1的主项比较尤拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差显式公式隐式公式若将这两种方法进行算术平均，即可消除误差的主要部分/*leadingterm*/而获得更高的精度,称为梯形法梯形公式—显、隐式两种算法的平均几何解释xnxn+1ABPn+1=(A+B)/2尤拉

2、法后退尤拉法梯形法§2龙格-库塔法建立高精度的单步递推格式:在改进尤拉法和尤拉两步法预测-校正系统中,预测公式都是单步法,如果预测误差很小,则通过校正后得到的近似值误差会更小,因此需要研究高精度的单步法.将改进欧拉法推广为：),(),(][12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii++==++=+ll2阶Runge—KuttaMethod注：二阶Runge-Kutta公式用多算一次函数值f的办法避开了二阶Taylor级数法所要计算的f的导数。在这种意义上，可以说Runge-Kutta

3、方法实质上是Taylor级数法的变形。Gill公式：4阶经典龙格-库塔公式的一种改进最常用为四级4阶经典龙格-库塔法/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/：§3微分方程组与高阶方程一阶微分方程组IVP的一般形式为：==))(,...),(,()(.........))(,...),(,()(1111xyxyxfxyxyxyxfxymmmm初值0002020101)(,...,)(,)(mmyxyyxyyxy===将问题记作向量形式，令：前述所有公式皆适用于向量形式。高阶微分

4、方程§5SystemsofDE’sandHigher-OrderEquations====---10)1(1000)1()()(,...,)(,)(),...,,,(nnnnaxyaxyaxyyyyxfy化作一阶微分方程组求解。引入新变量初值条件为：有限差分法/*finitedifferencemethod*/§6Boundary-ValueProblems将求解区间[a,b]等分为N份，取节点xi=a+ih(i=0,…,N)，在每一个节点处将y和y离散化。泰勒展开偏微分方程:令h=1/(n+1

5、),xj=jh,yj=jh(i,j=0,1,···,n+1)记ui,j=u(xi,yj),(i,j=0,1,···,n+1)(i,j=1,···,n)u0,j=0,uij=u(xi,yj)ui,0=0,ui,n+1=0练习（P127）：