微分方程的数值解法ppt课件.ppt

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1、有限元方法FiniteElementsMethod吴晓武汉纺织大学机电工程学院第一部分有限元分析的原理0引论0.1各力学学科分支的关系（对象、变量、方程、求解途径）科学研究的目的：定量获取所研究对象的所有信息。确定对象定义参量或变量获取定量关系推广到该类问题发任意情形非变形体(刚体)变形体(非刚体)1、桥梁问题新型双向拉索悬索桥（示意图）用有限元方法进行动力学分析需要分析变形体内部各点的状态2、矿山机械3、压力容器的成形4、挤压成形5、挤出成形(b)t=0.01138st=0.006132s（c）t=0.026266s(d)t=0.04418s（e）t=0.082

2、156s(f)t=0.138113s6、压铸成形7、注射成形7、注射成形8、镦粗成形变形体及受力情况的描述即：变形体及受力情况的描述即：0.3有限元方法的思路及发展过程就像建筑学中，当有了各种标准构件（如空心板、支柱、门窗框架、砖块等），就可以根据不同的设计图纸建造出形状各异的不同建筑物。技术路线0.3有限元方法的思路及发展过程发展过程如何处理？0.3有限元方法的思路及发展过程发展过程如何处理？假设：注：bc_t表示bc边与厚度t组成的面，其他记号类似。如果不区别τxy和τyx，则方程1-10可以写成下列形式：如果不区别τxy和τyx，则方程1-10可以写成下列形

3、式：式1-19也可以写成下列形式：（1-20）（1-25）（1-25）微分方程解题思路及主要解法一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离幂级数解法降阶作变换作变换积分因子数值解法微分方程的幂级数解法（概述）例如求一阶微分方程：满足初始条件的特解，其中函数这时我们可以将特解可展开为是和的多项式：的幂级数(1)(2)其中是待定的系数把（2）代入（1）中，便得一恒等式，比较这恒等式两端的同次幂的系数，就可定出常数,以这些常数为系数的级数（2）在其收敛区间内就是方程（1）满足初始条件的特解。微分方程的数值解法有限差分法有限

4、元方法边界元方法加权残值方法无网格法在微分方程的求解中，除了采用级数和逐步逼近等方法得到解的近似表达式外，通常还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值，这类方法通常包括：有限差分法(FDM)思想是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

5、有限元法思想其基本思想：把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。边界元法思想边界元法(Boudaryelementmethod)是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法,通常又称边界积分方程。应用格林函数公式，通过选择适当的权函数把空间求解域上的偏微分方程转换成为其边界上的积分方程，它把求解区中任一点的求解变量与边界条件联系了起来。通过离散化处理，由积分方程导出边界节点上未知值的代数方程。解出边界上的未知值后就可以

6、利用边界积分方程来获得内部任一点的被求函数之值。最大优点:可以使求解问题的空间维数降低一阶，从而使计算工作量及所需计算机容量大大减小。边界元法推广应用的一个最大限制是，需要已知所求解偏微分方程的格林函数基本解。加权残值法思想加权残值法是一种应用广泛的求解微分方程的方法，其基本思想是先假定一族带有待定参数的定义在全域上的近似函数,该近似解不能精确满足微分方程和边界条件,即存在残差.在加权平均的意义下消除残差,就得到加权残值法的方程.由于试函数定义在全域上,所得方程的系数矩阵一般为满阵.选取不同的权函数,可得到不同的加权参量法。如有某一应用科学问题中的控制微分方程式及

7、边界条件为：域内边界面为了解这个控制微分方程式，我们假设待定函数的一个近似解，为试函数（1）（2）加权残值法思想（续）（3）将（3）式代入（1）和（2）式之后，一般不会满足，于是分别出现了内部和边界残差：为了消除残差，通常引进内部权函数和边界权函数，将它们分别与和相乘，列出消除内部残值方程式及消除边界方程式分别如下：无网格方法思想无网格方法（Mesh-lessmethod）是在数值计算中不需要生成网格，而是按照一些任意分布的坐标点构造插值函数离散控制方程，问题域由一系列任意分布的节点来代替,不需要用单元或网格来进行场变量插值,也无须描述节点之间的关系。节点的生成可

8、完全由计算