微分方程数值解法课件.ppt

《微分方程数值解法课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、主讲：林亮时间：2010.11性质：选修对象：信科08-1、2微分方程数值解法2.5差分格式的稳定性和收敛性2.5.1问题的提出我们先看一个数值例子，考虑初边值问题其中（2.53）利用显式差分格式（2.29），即式中。连同初值条件：边值条件：逐层解出结点处的值。现在对，取二种，使。图2.9和图2.10中的曲线表示不同的时刻微分方程的精确解，图中“”表示差分方程的解图2.9所示时的计算结果是曲线自上而下依次为微分方程的精确解。红点是用差分格式在时算出的相应各层上的近似值。二者符合得很好，由于对称性我们只给出一半图形。图2.9利用显式差分格式（1.29）

2、的解图2.10利用显式差分格式（1.29）的解n=9n=18n=27图2.10是当时差分方程和微分方程精确解的图示，红点仍表示差分方程解，其中（a),(b),(c)分别为在时的计算结果。从图中看出，随着的增大，差分方程的解越来越远离微分方程的解。由此可见，值的不同，得出的结果有很大的差别，如的结果是可用的，但是时的结果就完全没有用。当然上面各种情况所得的差分方程解是由计算机得到的，不可能是差分方程理论上的准确解，而是差分方程的近似解，我们用表示。显然与之间存在着差别。差分方程的准确解与微分方程的解之间，如前所述，也是有差别的。因而从计算机上解得的差分

3、方程近似解与微分方程解之间的差别实质上包括两方面的差别，即下面我们先研究上式右边第二项，即差分方程的理论解与计算机上解得的近似解之间的差别是随着的增大而无限增大还是有所控制。如果这种差别是无限增加，则称差分格式不稳定，显然不稳定的格式是不能使用的，因为误差的无限增加淹没了真解。上例中的时就是差分方程不稳定的情况。从差分方程，比如格式（2.29）可知，（2.54）在求第一层的差分方程解时，用到第0层上的值，也就是初值解。由于计算机存储数据位二进制数位限制，不可能完全精确地存储在机器上，也就是计算用到的是带有误差的初始值。一般来说，在计算时又出现了误差，

4、因此中包括了由于参加运算而出现的误差，即初始误差的传递，以及本身计算过程中出现的误差。这样，在第(n+1)时间层计算时得到的是由于前面的误差传递和本身计算中出现的误差引起的。下面我们给出研究差分格式稳定性的最直接的方法。就是在第0层的一个结点上给出一个误差，然后研究这个误差的发展情况，即-图方法。2.5.2-图方法假定在固定的某个结点上引入一个误差，即把改成了，而在这一层的其他结点上的初值还是，假定用带有误差的初值按差分格式去计算以后各排结点上的值，且假定计算时没有引入其他误差，我们把得到的值记做，这样满足原来的差分格式。假定我们使用差分格式（2.2

5、9），于是显然两解之差满足（2.55）（2.56）以下分析当时，随着增加而变化的情况。先看的情况，由式（2.55）得由此利用条件（2.56）即可算出的值（见表2.3）。表2.3由表2.3可知，用显式差分格式（2.29）计算时，由初始数据的误差，在以后各层所引起的误差是逐层减小的，这说明差分格式（2.29）当时是稳定的。再看的情形，由（2.55）得由此利用条件（2.56）即可算出的值（见表2.4）表2.4由表2.4可知，用显式差分格式（2.29）计算时，由初始数据误差所引起的误差在以后各层的计算中逐层迅速增大，以至于不能控制，因此差分格式（2.29）在

6、时不稳定。用-图方法讨论格式的稳定性能直观地看到差分格式是稳定的还是不稳定的，它的缺点是必须先固定然后再进行讨论。2.5.3稳定性定义、稳定性分析的矩阵方法以下讨论求初值问题数值解的差分方程的稳定性问题。如前所知，联系二个相邻时间层，值的差分方程全体可以写成（如例2.2）其中（2.57）为维列向量；；为已知向量；为包括边值条件的向量；为阶方阵，可以随而改变。如果差分方程为显式，则对所有的，；如果，，则隐式格式可以写成显式形式。（2.58）设是初始值引进的误差向量，而在边值以及其他各层计算中未引入其他任何误差。由于的引入，差分方程的解。为了弄清差分格式

7、（2.58）的稳定性条件，给出稳定的定义：对于任意给定的，存在与无关且依赖于的正数，使当时，对于任何的，差分格式得到的解满足不等式则我们说差分格式是稳定的，其中是某一向量范数。下面简单地引进向量和矩阵的范数的定义：设向量，则常用的向量范数有：（1）（2）（3）它们分别称为2-范数，1-范数和无穷范数，其中2-范数亦称为欧氏范数。设矩阵的元素，则相应的矩阵范数（1）其中，为的共轭转置矩阵，为的最大特征值；（2）；（3）分别称为矩阵的2-范数，1-范数和无穷范数。显然对所有的范数都有其中为矩阵的谱半径，为矩阵的特征值。上而定义的稳定性，由于只考虑初始值引

8、进的误差的传播，称为差分格式关于初始值的稳定性。因为满足如下方程故满足因此，可推得由此，如果存在一正常数，使