资源描述：
《常微分方程数值解法ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第9章 常微分方程数值解法南京中医药大学信息技术学院制作:张季第9章 常微分方程数值解法4.1 概述4.2 Euler折线法和改进的Euler折线法4.3 Runge-Kutta方法4.4 一阶微分方程组与高阶常微分方程初值问题的数值解法内容提要：本章主要讨论使用数值方法解决一阶常微分方程初值问题，在此基础上介绍一阶方程组和高阶微分方程的初值问题的数值解法。常微分方程数值解法主要介绍欧拉折线法和四阶龙格－库塔法。问题的提出xsinx+sinx3y`y``+y∙ex2=x3∙cosx∙e-x近似方法求解近似解析法数值方法常微分方程初值问题数值解法的
2、一般方法1)离散结点的取法：xi=x0+i∙h2)求取近似解:步进法3)寻求数值解的方法：寻找递推公式Euler方法基本思想：在每一个小积分区间上，用一条切线来代替原函数曲线。从整体上看，是用一条折线来代替积分曲线，并以此来求取一系列离散结点处函数的近似值。计算公式及求解过程计算公式：yi+1=yi+(xi+1-xi)∙y`(xi)1)使x1=x0+h,并使用计算公式计算y12)输出x1,y1,并使x0=x1,y0=y1,重复以上过程。程序框图设计使用欧拉折线法解常微分方程。输入使用欧拉折线法解常微分方程。输出使用计算公式y1=y0+h∙f`(x
3、0,y0)计算y1输出x1,y1x0=x1,y0=y1改进的Euler方法基本思想：在每一个小积分区间上，用一条直线来代替原函数曲线。此直线较欧拉折线法的切线更近似于原函数曲线。当然，从整体上看，仍是用一条折线来代替积分曲线，并以此来求取一系列离散结点处函数的近似值。计算公式及求解过程12计算公式：yp=yi+f(xi,yi)∙hyc=yi+f(xi+1,yp)∙hyi+1=(yp+yc)12程序框图设计使用改进的欧拉折线法解常微分方程。输入使用改进的欧拉折线法解常微分方程。输出输出x1,y1使x0=x1,y0=y1，x1=x0+h,并重复上一步
4、使用计算公式 yp=yi+f(xi,yi)∙hyc=yi+f(xi+1,yp)∙hyi+1=(yp+yc)计算y112平均斜率由拉格朗日中值定理：y(xi+1)-y(xi)xi+1-xi=y(xi+1)-y(xi)h=y`(ξ)可得：y(xi+1)-y(xi)=h∙y`(ξ)=y`(xi+θh)根据微分方程给出的条件，上式可写成：y(xi+1)-y(xi)=h∙f[xi+θh,y(xi+θh)]f[xi+θh,y(xi+θh)]记为k*,也就是函数y=y(x)在区间[xi,xi+1]上的平均斜率。将简单欧拉法的计算公式yi+1=yi+(xi
5、+1-xi)∙y`(xi)与y(xi+1)=y(xi)+h∙k*相比较可知，简单的欧拉法是取k*=f(xi,yi)由改进欧拉法的计算公式可知，k*是用积分区间的两端点处的斜率的算术平均值(k1+k2)/2来近似地替代平均斜率进行求积运算而获得下一个结点函数值。Runge-Kutta方法基本思想：运用步进法，使用公式y`(x)=f(x,y)在[xi,xi+1]上多求几个结点处的斜率值，然后依据它们各自对平均斜率k*影响大小进行加权平均而计算得到的较为准确的平均斜率的近似值，来求取较为准确的函数值。二阶Runge-Kutta计算公式在区间[xi,xi
6、+1]上取两点xi和xi+p=xi+ph,以该两点处的斜率值k1和k2的加权平均来求取平均斜率k*的近似值K，即：y(xi+1)=y(xi)+hk=y(xi)+h(λ1k1+λ2k2)y(xi+1)在x=xi处进行二阶泰勒展开：K=λ1k1+λ2k2k2=f(xi+ph,yi+phk1)y(xi+1)≈y(xi)+h∙y`(xi)+y``(xi)h22!k2=y`(xi+ph)=f(xi+ph,yi+phk1)在x=xi处进行一阶泰勒展开：k2≈y`(xi)+ph∙y``(xi)y(xi+1)=y(xi)+hk=y(xi)+h(λ1k1+λ2k2
7、)=y(xi)+h{λ1y`(xi)+λ2[y`(xi)+ph∙y``(xi)]}=y(xi)+h(λ1+λ2)y`(xi)+λ2ph∙y``(xi)将此式与y(xi+1)在x=xi处进行二阶泰勒展开式相比较可知：凡满足此条件式有一簇形如上式的计算格式，这些格式统称为二阶龙格－库塔格式。λ1+λ2=1λ2∙p=1/2四阶Runge-Kutta计算公式yi+1=yi+(k1+2k2+2k3+k4)k1=f(xi,yi)k2=f(xi+1/2,yi+k1)k3=f(xi+1/2,yi+k2)k4=f(xi+1,yi+hk3)h6h2h2程序框图设计使
8、用四阶龙格－库塔法解常微分方程。输入使用四阶龙格－库塔法解常微分方程。输出输出x1,y1使x0=x1,y0=y1，x1=x0+h,并重复
