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1、第7章常微分方程（组）的数值解法刘东毅天津大学理学院数学系17:ODE第7章常微分方程（组）的数值解法主要目标：掌握常微分方程初值问题数值解法的基本理论掌握计算机上的常用算法主要内容：初值问题计算格式的建立Runge-Kutta方法一阶常微分方程组与高阶方程的数值解法27:ODE第7章常微分方程（组）的数值解法在科学研究和工程实践中会遇到很多微分方程，虽然从理论上可以证明其解的存在性，但其解的解析表达式往往是很难求解的，或者即使可以写出来，但也难于计算，此时，只能借助数值解来解决问题.常微分方程（组）定解问题是自然科学和工程技术领域中常见的数学模型.本章介绍求解此类问
2、题的基本理论和数值解法。37:ODE定义7.0.1若存在常数L>0,使得对一切的x∈[a,b]及y,,均有则称f(x,y)在D上关于y满足Lipschitz条件,其中L称为Lipschitz常数.我们首先考虑一阶常微分方程初值问题其中f(x,y)是区域上的实值函数.(7.0.1)47:ODE我们首先给出常微分方程初值问题解的存在惟一性定理。定理假设f(x,y)∈C(D),且关于y满足Lipschitz条件,则一阶常微分方程初值问题(7.0.1)存在唯一解.下面在此前提下,我们讨论上述初值问题(7.0.1)的数值解法。57:ODE然后在节点上建立逼近于原初值问题的计算格
3、式(或差分格式),由此计算出原问题的解y(x)在节点x1,x2,...,xN处的近似值：y1,y2,...,yN，称它们为常微分方程初值问题的数值解.相邻两个节点的距离hn=xn+1-xn称为步长,通常取定步长h>0,即节点xn=x0+nh,n=0,1,…,N.其基本思想是在区间[a,b]上引入一系列节点67:ODE7.1初值问题计算格式的建立1.数值微分方法在等距节点下讨论问题.利用两点数值微分公式7.1.1计算格式的建立将上式代入初值问题(7.0.1)有(7.1.1)77:ODE略去余项,并以数值解yn,yn+1代替y(xn)及y(xn+1),则得差分方程上式称为
4、Euler公式.利用此式可由初值y0出发按“步进式”方法,逐步求得数值解y1,y2,...,yN.由于计算yn+1时,只用到它前一步的结果yn,这类公式称为单步法.又因为其关于yn+1是显式形式,故称该Euler公式为显格式.87:ODE如果利用下列数值微分公式由类似的可导出上述公式称为后退的Euler公式,此公式为单步法公式.又因为它关于yn+1成隐式形式,所以该公式为隐式公式，简称隐格式.97:ODE类似地，可导出上述公式称为Euler两步法公式.这因为，当计算yn+1时,要用到yn-1与yn.显然它也是显格式.如果利用下列三点数值微分公式(7.1.3)107:O
5、DE设y(x)∈C2[a,b],由Taylor公式有由于故上式即为略去余项,并以yn,yn+1代替y(xn)及y(xn+1),得到的差分方程正是Euler公式.(7.1.4)2.Taylor展开法117:ODE3.数值积分方法对，在区间[xn,xn+1]上积分，得则有对上式中的积分采用不同的数值积分公式可得到不同的差分方程.例如,对上式的积分采用左矩形公式,可得到Euler公式.127:ODE若对此式的积分采用梯形公式,则有若略去余项,以yn,yn+1代替y(xn)及y(xn+1),得到的差分方程137:ODE上式称为梯形公式.由于它关于yn+1成隐式形式,故其为隐格
6、式.隐格式求解比较困难,当yn已知时,要求yn+1，需解关于yn+1的非线性方程.在实际应用时,上式常与Euler公式联合使用,构成如下计算格式:(7.1.6)147:ODE隐式梯形公式的迭代格式(7.1.7)由上式可以得到一个序列:,k=0,1,…,关于此序列的收敛性,有如下的定理.157:ODE定理7.1.1设f(x,y)在区域D上关于y满足Lipschitz条件,即其中L为Lipschitz常数,当步长时,对任意的初值按格式（7.1.7）生成的序列收敛于梯形公式（7.1.6）的解.167:ODE为了减少计算量,可采用预测-校正格式.方法是先用Euler公式求得一
7、个初始近似值称为预测值,再把带入梯形公式右端计算一次求得yn+1称之为校正值,即预测:校正:上式称为预测-校正公式或改进的Euler公式.上式也可写成如下形式:177:ODE例7.1.1：利用Euler公式与改进的Euler公式求解初值问题（步长h=0.1）解：由步长h=0.1，知节点设数值解为利用Euler公式得187:ODE计算结果见下表(见书P227表7.1)此初值问题的解析解为,从上表可以看出,数值解yn与解析解y(xn)比较,yn精度较差.197:ODE解此问题的改进的Euler公式为同Euler公式比较,改进的Euler法显然精度提高了.
