常微分方程的数值解法简介.ppt

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1、常微分方程的数值解法简介常微分方程的数值解法内容初值问题边值问题刚性问题资料来源：中国科技大学课程：数值计算方法。初值问题的数值解法对于一个常微分方程：通常会有无穷个解。如：因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出，如下面的初值问题：为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y满足Lipschitz条件：初值问题的数值解法常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法对函数进行运算。因此，常微分方程的数值解并不是求函数的近似，而是求解函数在某些节点的近似值。例：我们对区间做等距分割：设解函

2、数在节点的近似为由数值微分公式，我们有，则：向前差商公式可以看到，给出初值，就可以用上式求出所有的初值问题的数值解法基本步骤如下：③解差分方程，求出格点函数①对区间作分割：求在上的近似值。称为分割上的格点函数②由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足：A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容数值方法，主要研究步骤②，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性质。这种方法，称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上，求未知函数y在这些点上的值的近似。我们的目的，就是求这个格点函数初值问题的数值解

3、法为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论：①步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题得真解；即收敛性问题②误差估计③产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会无限制扩大；稳定性问题初值问题的数值解法1Euler公式做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方程。1.1向前差商公式所以，可以构造差分方程称为局部截断误差。显然，这个误差在逐步计算过程中会传播，积累。因此还要估计这种积累初值问题的数值解法定义在假设yi=y(xi)，即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差Ri=y(

4、xi+1)yi+1称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。定义若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。初值问题的数值解法1.2向后差商公式是隐格式，要迭代求解可以由向前差商公式求出初值问题的数值解法1.3梯形法－基于数值积分的公式对微分方程做积分，则：初值问题的数值解法类似，可以算出其误差估计式：2阶的方法所以，有格式为：是个隐式的方法，要用迭代法求解局部截断误差初值问题的数值解法2Runge－Kutta法一般的Runge－Kutta法构造常见的为3阶，4阶

5、公式初值问题的数值解法初值问题的数值解法3线性多步法用若干节点处的y及y’值的线性组合来近似y(xn+1)。)...(...110111101knknnnknknnnffffhyyyy--+---+++++++++=bbbbaaa其通式可写为：当10时，为隐式公式;1=0则为显式公式。初值问题的数值解法写成向量的形式：4微分方程组初值问题的数值解法各种方法都可以直接运用过来。Euler公式以两个方程的方程组为例初值问题的数值解法Runge-Kutta公式初值问题的数值解法初值问题的数值解法5.高阶

6、方程初值问题的数值解法则有：令边值问题的数值解法参见：Word文档。刚性问题的数值解法刚性问题参考文献：李庆扬关治白峰杉编著数值计算原理。