概率论第四章自测题参考答案.doc

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1、第四章自测题参考答案与提示时间：120分钟一、单项选择题(每题2分，共10分)1．随机变量X,Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X与Y(A)不相关的充分条件，但不是必要条件；(B)不相关的必要条件，但不是充分条件；(C)独立的必要条件，但不是充分条件；(D)独立的充分必要条件。(C)2．若方差D(X),D(Y)为非零数，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有(A)X与Y一定相互独立；(B)X与Y一定不相关；(C)D(XY)=D(X)D(Y)；(D)D(X-Y)=D(X)-D(Y)。(B)3．设随机变量X与Y独立同分布，记U=X+Y，V=X-Y，则随机变量U和V必然(A

2、)不独立；(B)相互独立；(C)不相关；(D)无法判断。(C)4．若随机变量X与Y不相关，则与之等价的条件是(A)D(XY)=D(X)D(Y)；(B)D(X+Y)=D(X-Y)；(C)D(XY)¹D(X)D(Y)；(D)D(X+Y)¹D(X-Y)。(B)5．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人所得奖金的数学期望为(A)6元；(B)12元；(C)7.8元；(D)9元。(C)二、填空题(每题3分，共18分)1．设D(X)=4，D(Y)=9，rXY=0.6，则D(3X-2Y)=28.8。2．已知随机变量X~N(0,s2)(s>0)，Y在区间上服从

3、均匀分布，如果D(X-Y)=s2，则X与Y的相关系数rXY=1/4。3．二维随机变量(X,Y)服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X与Y的相关系数rXY=-1/2，则当a=2时，aX+Y与Y相互独立。4．设X~N(0,4)，Y服从指数分布，其概率密度为如果Cov(X,Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X,Z)=Cov(Y,Z)，则a=-1，X与Z的相关系数rXZ=。5．设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量则D(Y)=8/9。6．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P{½X-2½³4}£1/8。一、基本计算题(共54分)1

4、．(10分)设x,h是相互独立且服从同一分布的随机变量，已知x的分布律为P{x=i}=1/3，i=1,2,3又设X=max(x,h)，Y=min(x,h)，求(1)随机变量X的数学期望E(X)，(2)X与Y的相关系数rXY。答：E(X)=22/9，rXY=8/19。提示：X与Y的联合分布律为：YX123P{X=i}1231/9002/91/902/92/91/91/93/95/9P{Y=j}5/93/91/912．(8分)设随机变量X,Y的相关系数rXY=0.6，且X与Y的分布律分别为：X01P0.50.5Y-11P0.50.5试求X与Y的联合分布律。答：YX-11010.40.10.

5、10.4提示：由边缘分布及相关系数确定联合分布，设X与Y的联合分布律为YX-11P{X=i}01abcd0.50.5P{Y=j}0.50.513．(8分)设(X,Y)的概率密度为(1)判别X与Y是否相互独立？是否相关？(2)求D(X+Y)。答：(1)不独立，相关。(2)D(X+Y)=5/36。解，同理在0

6、(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=5/36,。4．(10分)设(X,Y)的联合概率密度为求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，rXY。答：E(X)=2/3，E(Y)=0(由奇偶性及对称性)，D(X)=1/18，D(Y)=1/6，rXY=0。提示：利用公式D(X)=E(X2)-(E(X))2及求解。5．(8分)设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求Z=min{X1,X2,…,Xn}的数学期望与方差。答：E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2。提示：FZ(z)=1-(1-FX(z))n。6．(10分)某系某班共有n名新生，班长从系里领来他们所有的学

7、生证，随机地发给每一同学，求恰好拿到自己的学生证的人数X的数学期望与方差。答：E(X)=1，D(X)=1。提示：采用随机变量的分解方法求数学期望。设则X=X1+X2+…+Xn，注意：X1，X2，…，Xn不相互独立，因此在计算方差时，应利用公式四、综合题(共18分)1．(8分)设某种商品每周需求量X是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10,30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求则削价