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1、统计学院概率论与数理统计自测题《概率论与数理统计》第五单元自测题时间：60分钟，卷面分值：50分一、单项选择题(每题2分，共10分)得分1．设随机变量序列X1,X2,…,Xn，…相互独立，且都服从参数为的泊松分布，则下列选项正确的是()(A)；(B)当n充分大时，近似服从标准正态分布；(C)当n充分大时，近似服从正态分布；(D)当n充分大时，。2.设X1,X2,…,Xn，…是独立同分布的随机变量序列，其分布函数为，则辛钦大数定律对此序列()(A)适用;(B)当常数a,b取适当的数时适用;(C)不适用;(D)无法判定。3.设随机变量
2、X1,X2,…,Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+Xn，则根据独立同分布中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1,X2,…,Xn()。(A)有相同的数学期望；(B)服从同一指数分布；(C)有相同的方差；(D)服从同一离散型分布。4.设X1,X2,…为独立同分布随机变量序列，且Xi(i=1,2,…)服从指数分布，其概率密度为F(x)为标准正态分布函数，则()。(A)；(B)；第5页，共5页第五单元自测题及参考答案2013-11统计学院概率论与数理统计自测题(C)；(D)。5.设随机变量X～N(10,22),则P(
3、10＜X＜13)＝()。(A)；(B)；(C)；(D)。二、填空题(每题2分，共10分)1．设随机变量序列X1,X2,…,Xn相互独立，且都服从参数θ=2的指数分布，则当时,依概率收敛于。2．设随机变量序列{Xn}相互独立，且都在[-1,1]上服从均匀分布，则。3．在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果互相独立同服从正态分布，若以表示次称量结果的算术平均值，则为使，的最小值应不小于自然数。4.设随机变量序列X1,X2,…,X100相互独立，且同服从参数为3的泊松分布，记，依中心极限定理，近似分布为。(注明参数)5.设随机变
4、量序列独立同分布，，则依概率收敛于。三、应用题(共24分)1.(8分)一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977。其中是标准正态分布函数）。2.(8分)某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量。(1)写出的概率分布；(2)利用棣莫佛—第5页，共5页第五单元自测题及参考答案2013-11统计学院概率论与数理统计
5、自测题拉普拉斯定理，求被盗的索赔户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值。附表：3.(8分)每颗炮弹命中飞机的概率为0.01,求500发炮弹至少命中7发的概率.四证明题(共6分)设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，已知,记，试证明，当n充分大时,近似服从正态分布，并给出其分布参数。第5页，共5页第五单元自测题及参考答案2013-11统计学院概率论与数理统计自测题《概率论与数理统计》第五单元自测题参考答案一、选择题1.(C)；2.(C)；3.(B)；4.(A)；5.(D)。二、填空题1.8；2.；3.；4.；5.。三、计算题
6、1【解】设是装运的第i箱的重量（单位：千克），可以将视为独立同分布随机变量，而n箱的总重量，是独立同分布随机变量之和。由条件知，根据列维-林德伯格中心极限定理，近似服从N(50n,25n)分布，则每车的装箱数n决定于条件：，由此可见，从而n<98.0199,即知每车最多可以装98箱。2．【解】(1)据题意，可知100家索赔户中被盗的索赔户数服从二项分布，其参数，即，且，(2)由，，得。3.【解】设随机变量X为500发炮弹中命中的炮弹个数,则X~B(500,0.01)，则由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理有，则。四、证明题【证】因为X1
7、,X2,…,Xn，…独立同分布,所以也独立同分布，由第5页，共5页第五单元自测题及参考答案2013-11统计学院概率论与数理统计自测题得,，由独立同分布中心极限定理，当n充分大时，有，则，证毕。【法二】由独立同分布中心极限定理,对任意,，当n充分大时，有，因此,当n充分大时有，证毕。第5页，共5页第五单元自测题及参考答案2013-11
