自动控制技术项目教程 教学课件 作者 贺力克 第3章 自动控制系统的时域分析法.ppt

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1、第3章自动控制系统的时域分析法时域分析法通常是指直接从微分方程或间接从传递函数出发去进行分析的方法。【例3-1】求典型一阶系统的单位阶跃响应。　　设典型一阶系统的微分方程为：(2-13)式中，r(t)为输入信号；c(t)为输出信号；T称为间常数，其初始条件为零。解1)对微分方程两边进行拉氏变换有:TsC(s)+C(s)=R(s)由题意可知，系统的输入信号为单位阶跃信号，即r(t)=1(t),则,代入上式有:2)将上式分解为部分分式由上式有：3)用待定系数法可求得A=1,B=-T，代入上式有：4

2、)对上式进行拉氏反变换，由表2-1可查得对应项的原函数，于是有：(2-14)5)由式(2-14)所表达的阶跃响应曲线如图2-3所示。图3-1典型一阶系统的单位阶跃响应曲线6)对求解的结果进行分析:①响应曲线起点的斜率m为：(2-15)由上式可知，响应曲线在起点的斜率m为时间常数T的倒数，T愈大，m愈小，上升过程愈慢。②过渡过程时间。由图2-3可见，在t经历T、2T、3T、4T和5T的时间后，其响应的输出分别为稳态值的63.2%、86.5%、95%、98.2%和99.3%。由此可见，对典型一阶系统，它

3、的过渡过程时间大约为(3～5)T，到达稳态值的95%～99.3%。【例3-2】求典型一阶系统的单位斜坡响应。典型一阶系统惯性环节的微分方程为上式的拉氏式为由于为单位斜坡输入，即r(t)=t,因此，，代入上式有由上式有应用通分的方法，可求得待定系数A=1，B=-T,C=Ｔ２。以待定系数代入式有对上式进行拉氏反变换，由表2-1可查得各分式对应的原函数，于是可得C(t)=t-T+Te-t/T(3-3)由式(3-3)可画出如图3-1所示的典型一阶系统的单位斜坡响应曲线。图3-2典型一阶系统的单位斜坡响应

4、【例3-3】若输入量r(t)为一单位阶跃函数，求下列二阶微分方程的输出量c(t)。解：对上式进行拉氏变换，并以R(s)=1/s代入，得由上式有1）当ξ=0(无阻尼)(零阻尼)时：(特征方程的根s1,2=±jωn，即为一对纯虚根)。当ξ=0时，式(3-5)为无阻尼时的阶跃响应为等幅振荡曲线。参见图3-3中ξ=0的曲线。2)当0<ξ<1(欠阻尼)时：特征方程的根是一对共轭复根，通常令则由式(3-5)，对照0<ξ<1的条件，由表2-1第13行可查得由式(3-8)可见，式中sin(ωdt+φ)的幅值

5、是±1，因此c(t)的包络线便是c(t)是一衰减振荡曲线，又称阻尼振荡曲线。由式(3-8)还可知，对应不同的ξ(0<ξ<1)，可画出一簇阻尼振荡曲线，参见图3-3。由图3-3可见ξ愈小，振荡的最大振幅愈大。图3-3振荡环节的阶跃响应图3-4典型二阶系统的单位阶跃响应曲线3)当ξ=1(临界阻尼)时：特征方程的根s1,2=-ωn，是两个相等的负实根(重根)。当ξ=1时，由式(3-5)有由式(3-9)可画出如图3-3中ξ=1所示的曲线。此曲线表明，临界阻尼时的阶跃响应为单调上升曲线。4)当ξ>1(过阻

6、尼)时：特征方程的根是两个不相等的负实根。过阻尼时的阶跃响应也为单调上升曲线。不过其上升的斜率较临界阻尼更慢。由以上的分析可见，典型二阶系统在不同的阻尼比的情况下，它们的阶跃响应输出特性的差异是很大的。若阻尼比过小，则系统的振荡加剧，超调量大幅度增加；若阻尼比过大，则系统的响应过慢，又大大增加了调整时间。因此，怎样选择适中的阻尼比，以兼顾系统的稳定性和快速性，便成了研究自动控制系统的一个重要的课题。