自动控制技术 教学课件 作者 贺力克第3章自动控制系统的数学模型.ppt

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1、第3章自动控制系统的数学模型3.1系统的微分方程3.2传递函数3.3系统框图(结构图)3.4典型环节的传递函数和功能框3.5自动控制系统的框图3.6框图的变换、化简和系统闭环传递函数的求取1、建立系统微分方程的一般步骤建立系统微分方程的一般步骤如下：（1）全面了解系统的工作原理、结构组成和支持系统运动的物理规律，确定系统的输入量和输出量。（2）一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写它们的微分方程。3.1系统的微分方程（3）将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程，它就是系统的微分方程。（4）

2、将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。2、微分方程建立举例[例3-1]直流电动机的微分方程。(1)、直流电动机(Direct-CurrentMotor)各物理量间的关系。直流电动机有两个独立的电路：一个是电枢(Armature)回路，有关物理量的角标用a表示，为直观起见，现将电枢的电阻Ra和漏磁电感La单独画出；另一个电路便是励磁回路，有关物理量的角标用F表示。直流电动机的电路图如图3-1所示。直流电动机各物理量间的基本关系式如下

3、：电枢电路：电磁转矩：运动方程：反电动势：(3-2)(3-4)(3-3)(3-1)图3-1直流电动机电路图若以（式中）及代入式（3-3）有式中，称为转速惯量，，上式中式(3-3)'还可写成(3-3)'(3-3)"(2)、确定输入量与输出量以电枢电压ua为输入量，电动机转速n为输出量来列写电动机的微分方程，而将负载转矩TL作为电动机的外界扰动量。(3)、消去中间变量，并将微分方程整理成标准形式按照前面叙述的步骤将微分方程整理成标准形式，就可得到以ua为输入量，以n为输出量，以TL为扰动量的直流电动机的微分方程：式中，Tm为电动机的机电时间常数Ta为电

4、枢回路的电磁时间常数(3-5)(3-7)(3-6)4、对微分方程进行分析与简化由式(3-5)可见，电动机的转速和电动机本身的固有参数Tm、Ta有关，和电枢电压ua有关,还和负载转矩TL以及负载转矩对时间的变化率有关。若不考虑电动机的负载转矩，即设，于是式(3-5)可简化成考虑到直流电机电枢漏感La一般较小，可假设La=0，则Ta=0。若Ta=0，则式(3-8)可简化为(3-8)(3-9)3.2传递函数1、传递函数的定义传递函数是在用拉氏变换求解微分方程的过程中引申出来的概念。微分方程这一数学模型不仅计算麻烦，并且它所表示的输入、输出关系复杂而不明显。但是，经过拉氏变

5、换的微分方程却是一个代数方程，可以进行代数运算，从而可以用简单的比值关系描述系统的输入、输出关系。据此，建立了传递函数这一数学模型。传递函数的定义为：在初始条件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。即传递函数G(s)=输入量的拉氏变换输出量的拉氏变换(3-10)2.传递函数的一般表达式如果系统的输入量为r(t)，输出量为c(t)，并由下列微分方程描述:在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换，有ansnC(s)+an-1sn-1C(s)+…+a1sC(s)+a0C(s)=bmsmR(s)+bm-1sm-1R(s)+…+b1sR(s)+b0R(s)即(

6、ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0)C(s)=(bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0)R(s)根据传递函数的定义有(3-11)3.传递函数的性质(1)唯一性传递函数是由微分方程变换得来的，它和微分方程之间存在着一一对应关系。对于一个确定的系统（输出量与输入量都已确定），它的微分方程是唯一的，所以，其传递函数也是唯一的。(2)传递函数是复变量s(s=σ+jω)的有理分式，s是复数，而分式中的各项系数an，an-1，…，a1，a0以及bm，bm-1，…，b1，b0都是实数，它们是由组成系统的元件的参数构成的。传递函数只与系统本身内部结构、参数有关，而与输入

7、量、扰动量等外部因数无关。它代表了系统的固有特性，是一种用象函数来描述系统的数学模型，称为系统的复数域模型。有理性(3)传递函数是一种运算函数。由G(s)=C(s)/R(s)可得C(s)=G(s)R(s)，此式表明，若已知一个系统的传递函数G(s)，则对任何一个输入量r(t)，只要以R(s)乘以G(s)，即可得到输出量的象函数C(s)，再经拉氏反变换，就可求得输出量c(t)。运算性(4)动态特性传递函数的分母多项式等于零，即为微分方程的特征方程（CharacteristicEquation）以后的分析表明：特征方程的根反映了系统动态过程的