高考数学一轮复习课后限时集训15导数与函数的单调性理北师大版.docx

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1、课后限时集训15导数与函数的单调性建议用时：45分钟一、选择题1．函数f(x)＝3＋xlnx的单调递减区间是(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.B　[因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1，令f′(x)＜0，解得0＜x＜，所以f(x)的单调递减区间是.]2．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的图像可能是(　　)A　　　　　　　BC　　　　　　　DC　[由导函数f′(x)的图像可知，函数y＝f(x)先减再增，可排除选项A，B

2、；又f′(x)＝0的根为正数，即y＝f(x)的极值点为正数，所以可排除选项D，选C.]3．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)D　[由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥，而0＜＜1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．]4．设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则

3、实数a的取值范围是(　　)A．(1,2]B．(4，＋∞)C．(－∞，2)D．(0,3]A　[因为f(x)＝x2－9lnx，所以f′(x)＝x－(x＞0)，由x－≤0，得0＜x≤3，所以f(x)在(0,3]上是减函数，则[a－1，a＋1]⊆(0,3]，所以a－1＞0且a＋1≤3，解得1＜a≤2.]5．函数f(x)在定义域R内可导，f(x)＝f(4－x)，且(x－2)f′(x)＞0.若a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是(　　)A．c＞b＞aB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．b＞

4、a＞cC　[由f(x)＝f(4－x)可知，f(x)的图像关于直线x＝2对称，根据题意知，当x∈(－∞，2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．所以f(3)＝f(1)＜f＜f(0)，即c＜b＜a，故选C.]二、填空题6．函数f(x)＝lnx－ax(a＞0)的单调递增区间为________．　[由题意，知f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝－a＞0(a＞0)，得0＜x＜，∴f(x)的单调递增区间为.]7．若函数f(x)＝ax3＋3x2

5、－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．(－3,0)∪(0，＋∞)　[由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点，所以3ax2＋6x－1＝0需满足a≠0，且Δ＝36＋12a＞0，解得a＞－3且a≠0，所以实数a的取值范围是(－3,0)∪(0，＋∞)．]8．若函数f(x)＝lnx－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．(－1，＋∞)　[f′(x)＝－ax－2＝，由题意知f′(x)＜0有实

6、数解，∵x＞0，∴ax2＋2x－1＞0有实数解．当a≥0时，显然满足；当a＜0时，只需Δ＝4＋4a＞0，∴－1＜a＜0.综上知a＞－1.]三、解答题9．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．[解]　(1)由题意得f′(x)＝，又因为f′(1)＝＝0，故k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝，设h(x)＝－lnx－1(x＞0)，则h′(x)＝－－＜0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．

7、由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，从而f′(x)＞0；当x＞1时，h(x)＜0，从而f′(x)＜0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．10．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在(－1,1)上为单调减函数，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求实数a的值；(4)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求实数a的取值范围．[解]　(1)因为f

8、(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0]．(2)由题意知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，所以a≥3x2在(－1,1)上恒成立，因为当－1＜x＜1时，3x2＜3，所以a≥3，所以a的取值范围为[3，＋∞)．(3)由题意知f′(x)＝3x2－a