工程力学 教学课件 作者 蔡广新 主编第九章.ppt

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1、第九章梁的弯曲刚度下一页下一页下一页第九章梁的弯曲刚度概述第一节挠度和转角第二节挠曲线近似微分方程第三节用积分法求梁的位移第四节用叠加法求梁的位移第五节梁的刚度计算第六节简单超静定梁下一页上一页下一页上一页下一页上一页概述研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁做刚度校核②解超静定梁下一页上一页下一页上一页一、基本概念1.挠曲线：梁变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。2.挠度：梁上任意横截面的形心沿垂直于x轴线方向的线位移，称为挠度，用y表示。与y轴同向为正，反向为负。3.转角：梁横截面相对于变形前初始位

2、置绕中性轴所转过的角度,称为转角，用θ表示。逆时针转角为正，反向为负。挠曲线表示为y=f(x)下一页上一页下一页上一页第一节挠度和转角yxFlxACBB′C′yθρ(x)θ二、挠度y与转角θ的关系工程中，梁的变形很小，tanθ≈θ即表明：梁上任一横截面的转角等于该截面处的挠度对x坐标的一阶导数。下一页上一页下一页上一页dxdy=q=dydxqtanyxFlxACBB′C′yθρ(x)θ——挠曲线近似微分方程下一页上一页下一页上一页第二节挠曲线近似微分方程20<00Oyx22>>Mdxyd20

3、Z(y)EIxM=±'''''1()(±)'2()231yxyy±=Þ+r1x=r()xMEIZ=1)(xr1EIMZÞ=r一、微分方程的积分工程中常用等截面直梁，弯曲刚度EIZ（或简写成EI）为常量挠曲线近似微分方程可写成如下形式：EIy″=M(x)积分一次得角方程再积分一次得挠曲线方程C、D均为积分常数下一页上一页第三节用积分法求梁的位移DCxdxdx()xEIy=òòM++=()CdxxMEI+=òqEIy'x=0，yA=0，θA=0二、积分常数的确定约束条件：x=0，yA=0，x=l，yB=0连续条件：x1=x2=xc

4、，yc左=yc右光滑条件：x1=x2=xc，θc左=θc右下一页上一页例1已知：EI、l、F求梁的最大挠度和最大转角。解：①建立坐标系并列弯矩方程②建立挠曲线微分方程并积分当x=0，θA=0，yA=0，∴C=D=0下一页上一页(-xl())FxM-=EIyF(-=x()lFlFx-=-M=)x"DCxlxFxFEIy++-=2326EIy='=EIFCFlxx+-22qABFxxly转角方程挠曲线方程最大转角最大挠度ABFxyxl下一页上一页FxEI2x2)(l-=ql()x3-EIFxy62=BFlEI22max-==qqyy

5、Bmax-FlEI33==FyACx1x2xBFAFB2l2l例2已知：F、EI、l建立梁的挠曲线方程和转角方程。解：①建立坐标系并列弯矩方程②分段建立挠曲线微分方程并积分下一页上一页()2Fllø2öèæ--=øöèæ--=2222xF22FxxFxxMA11()==21FxxFxMA==2FFFABDx1111C3112FxEIy++=)12Fx(1xM1"EIy==1'1C214FxEIyEI+==q1③确定积分常数FyACx1x2xBFAFB2l2l下一页上一页222DxC++2322lx2123FxEIy÷øöçèæ-

6、6F-=x2224C2l2F22Fx+÷øöçèæ--2EI2EIy'==q(÷)2"2xMEIy==2xFøöçèæ--l2Fx2220l22110,;0,yxyx====2121,yyxx===q2l1=,q代入相应方程得0EIFlCCDD16,22121-====④确定挠曲线和转角方程下一页上一页çè棣01øö2lxx21()2113448lEIFxy-=-21)lxAC段(21416EIF=qøö££lx2çèæl2(-)x)EIx8CB段lF222EI63÷øöl2x2çFèæ-y2EIFx482x3(l4222-

7、=()l4222--FEI162=q①叠加法：将梁上所加的复杂载荷分解为几种简单载荷，然后利用位移表中的结果，分别求出各简单载荷单独作用下梁上同一位置处的挠度和转角，再将它们的代数值分别相加，最后得出复杂载荷作用下梁的挠度和转角。②适用条件：力和位移的线性关系只有在小变形和弹性范围内加载这两个前提下才成立，即为叠加法的适用条件。下一页上一页第四节用叠加法求梁的位移例3用叠加法求A点转角和C点的挠度解：①载荷分解②查位移表求简单载荷的位移③叠加下一页上一页,483EIFlycF-=,38454EIqlycq-=EIFlAF162-

8、=qEIqlAq243-=qEIFlEIqlEIFlEIqlyyyAFAqACFCqC16244838452334--=+=--=+=qqq例4用叠加法求最大挠度和最大转角下一页上一页y2yyCB+=2maxyyyB1BB+==2l2B.qBmax2B1Bqqq