高考数学选修基础_知识讲解_空间向量及其线性运算(理）.doc

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1、空间向量及其线性运算编稿：赵雷审稿：李霞【学习目标】1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法．2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律．3．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题．【要点梳理】要点一、空间向量的相关概念1.空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。（要注意印刷体用a，而手写体为，要区分开）要点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向

2、有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。2.空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或3．空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。单位向量：长度为1的空间向量，即.相等向量：方向相同且模相等的向量。相反向量：方向相反但模相等的向量。共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。要点诠释：①当我们说向量、

3、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．要点二、空间向量的加减法1．加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．2．运算律交换律：结合律：要点诠释：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的

4、逆运算，满足三角形法则．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；要点三、空间向量的数乘运算1.定义：实数与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当＞0时，a与a方向相同；当＞0时，a与a方向相反；当=0时，a=0．a的长度是a的长度的

5、

6、倍．如右图所示．2．运算律．分配律：(a+b)=a+b；结合律：(μa)=(μ)a．要

7、点诠释：（1）实数与空间向量a的乘积a（∈R）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜＜1时，向量缩短；当＞1时，向量伸长；当＜0时，改为反方向的向量．（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当=0时，a=0；当≠0时．若a≠0时，有a≠0．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：+a，－a无意义．要点四、共线定理1．共线向量的定义．与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b．注意：0与任意向量是共线向量．2．

8、共线向量定理．空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使．要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：①a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b；②存在唯一实数，使得a=b（b≠0），则a∥b．注意:b≠0不可丢掉，否则实数就不唯一．3.共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表

9、示的向量必须有一个公共点。要点五、共面定理1．共面向量的定义．通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．注意：空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．2．共面向量定理．如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（），使．推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有，上式叫做平面的向量表达式．3.共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。【典型例题】类型一：空间向量的线性运算例1、已知在平行六面体中，设，，，试用向量、、来表示向量、。【思路点拨】

10、要想用、、表示所给向量，只需结合图形，充分运用空间向量加法运算即可。【解析】在平行六面体中，四边形ABCD是平行四边形，。又因为四边形为平行四边形，∴。【总结升华】运用已知向量表示其他向量时，应充分运用向量加法、减法的三角形法则，平行