知识讲解函数模型的应用举例提高.doc

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1、函数模型的应用实例编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.【要点梳理】【高清课堂：函数模型的应用实例392115知识要点】要点一、解答应用问题的基本思想和步骤1.解应用题的基本思想2.解答函数应用题的基本步

2、骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型

3、)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反馈(还原成实际问题的解答).要点二、解答函数应用题应注意的问题首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达

4、出来，建立函数关系.其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.【典型例题】类

5、型一、已建立函数模型的应用题例1.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：，其中x是仪器的月产量。（1）将利润表示为月产量的函数f(x)。（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）【思路点拨】这里已有函数模型，只需对分段讨论，写出利润的表达式即可【答案】（1）；(2)每月生产300台仪器时，利润最大。最大利润为25000元。【解析】（1）设每月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而。（2）当0≤x≤400时，，∴当x=300时，

6、有最大值25000；当x＞400时，f(x)=60000－100x是减函数，f(x)＜60000－100×400＜25000。∴当x=300时，f(x)的最大值为25000。∴每月生产300台仪器时，利润最大。最大利润为25000元。【总结升华】由题目可获取以下主要信息：①总成本=固定成本+100x；②收益函数为一分段函数。解答本题可由已知总收益=总成本+利润，利润=总收益－总成本。由于R(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题。分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者。分段函数应用题

7、是高考命题的热点。举一反三：【变式1】设在海拔xm处的大气压强是yPa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105Pa，1000m高空的大气压为0.90×105Pa，求600m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）。【答案】0.943×105.【解析】这里已有函数模型，要求待定系数c、k，由x=0时y=1.01×105Pa和x=1000m时y=0.90×105Pa可求。将x=0，y=1.01×105，x=1000，y=0.90×105分别代入函数关系式y=cekx中，得，∴。将c=

8、1.01×105代入0.90×105=ce1000k中得0.90×105=1.01×105e1000k，∴。由计算器算得k=－1.15×10－4，∴。将x=600代入上述函数关系