第 20 课 导数的概念、几何意义及运算.doc

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1、第20课导数的概念、几何意义及运算一、填空题：1．已知函数f(x)＝x2+bx+c，(b，c∈R)，F(x)＝，若F(x)图象在x=0处的切线方程为y=﹣2x+c，则函数f(x)的最小值是　_________　．解：∵f(x)=x2+bx+c，∴f′(x)=2x+b，∴F(x)＝＝则F′(x)＝，∵F(x)图象在x＝0处的切线方程为y=﹣2x+c，∴，即，解得b＝4，c＝4．∴f(x)=x2+4x+4=(x+2)2≥0，∴函数f(x)的最小值是0．2．水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，水波面的圆面积的膨胀率是　　　　　．25

2、000πcm2/s3．f(x)，g(x)（g(x)≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0，f′(x)g(x)﹣f(x)g′(x)＜0且f(－2)＝0，则不等式＜0的解集为．解：∵f(x)和g(x)（g(x)≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(﹣x)＝﹣f(x)，g(﹣x)＝g(x)．∵当x＜0时，f′(x)g(x)﹣f(x)g′(x)＜0，当x＜0时，＜0，令h(x)＝，则h(x)在(﹣∞，0)上单调递减．∵h(﹣x)=f(﹣x)g(﹣x)=﹣f(x)g(x)=﹣h(x)，∴h(x)为奇函数，根据奇函数的性质可得函数h(x)在(0，

3、+∞)单调递减，且h(0)=0．∵f(﹣2)=﹣f(2)=0，∴h(﹣2)=﹣h(2)=0．∴h(x)＜0的解集为(﹣2，0)∪(2，+∞)．4．设曲线y=(ax﹣1)ex在点A(x0，y1)处的切线为l1，曲线y=(1﹣x)e-x在点B(x0，y2)处的切线为l2．若存在x0∈[0，]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为　_________　．解：函数y=(ax﹣1)ex的导数为y′=(ax+a﹣1)ex，∴l1的斜率为k1＝(ax0+a－1)，函数y=(1﹣x)e-x的导数为y′=(x﹣2)e-x，∴l2的斜率为k2＝(x0－2)，由题设有k1

4、•k2=﹣1从而有(ax0+a－1)·(x0－2)＝－1．∴a(x02﹣x0﹣2)=x0﹣3．∵x0∈[0，]得到x02﹣x0﹣2≠0，所以a＝，又a¢＝，令a¢＞0得1＜x0＜5，故在(0，1)是减函数，在(1，)上是增函数，x0=0时取得最大值为；x0=1时取得最小值为1．∴1≤a≤．5．已知函数f1(x)=sinx，且fn+1(x)=fn′(x)，其中n∈N*，求f1(x)+f2(x)+…+f100(x)的值．解：∵f1(x)=sinx，又fn+1(x)=fn′(x)，∴f2(x)=f1′(x)=(sinx)′=cosx，f3(x)=﹣sinx

5、，f4(x)=﹣cosx，f5(x)=sinx，…，∴fn+4(x)=fn(x)．而f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0，∴f1(x)+f2(x)+…+f100(x)=25×0=0．二、解答题：1．已知实数a，b，c∈R，函数f(x)=ax3+bx2+cx满足f(1)=0，设f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(0)f′(1)＞0．（1）求的取值范围；（2）设a为常数，且a＞0，已知函数f(x)的两个极值点为x1，x2，A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，求证：直线AB的斜率k∈(－，－]．解：（1）∵f(1)=a+b+c=

6、0，∴b=﹣(a+c)，∵f′(x)=3ax2+2bx+c，∴f′(0)=c，f′(1)=3a+2b+c，∴f′(0)f′(1)=c(3a+2b+c)=c(a﹣c)=ac﹣c2＞0，∴a≠0，c≠0，∴－()2＞0，所以0＜＜1．（2）令f′(x)=3ax2+2bx+c=0，则x1+x2＝－，x1x2＝，∴k＝＝＝a(x22+x2x1+x12)+b(x2+x1)+c=a[(x2+x1)2－x2x1]+b(x2+x1)+c＝a()+b(﹣)+c＝a[()++]＝，令t＝，由b＝﹣(a+c)得，＝﹣1﹣t，t∈(0，1)，则k＝[﹣(1+t)2+3t]＝(

7、﹣t2+t﹣1)，∵a＞0，﹣t2+t﹣1∈(﹣1，﹣]，∴k∈(－，－]．．2、已知抛物线C1：y=x2+2x和C：y＝﹣x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．（1）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（2）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．解：（1）函数y=x2+2x的导数y′=2x+2，曲线C1在点P(x1，x12+2x1)的切线方程是：y﹣(x12+2x1)=(2x1+2)(x﹣x1)，即y=(2x1+2)x﹣x12①函

8、数y=﹣x2+a的导数y′=﹣2x，曲线C2在点Q(x2，﹣x22+a)的切线方程是，即y﹣(