角平分线（二）演示文稿 (2).ppt

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1、第四节角平分线(二)第一章三角形的证明教学目标：1．证明与角平分线的性质定理和判定定理相关的结论．２．角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?用心想一想，马到功成发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．DEFMNCBAP证明：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与CN相交于点P，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别是D,E,F.求证：∠A的角平分线经过点P，且PD=PE=PF．证明：∵BM是△AB

2、C的角平分线,点P在BM上∴PD=PE同理：PE=PF．∴PD=PE=PF．∴点P在∠A的平分线上∴∠A的平分线经过点P．定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF几何的三种语言ABCPMNDEF三角形角平分线的性质定理比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形交点性质交于三角形内一点交于三角形外一点

3、交于斜边的中点到三角形三个顶点的距离相等交于三角形内一点到三角形三边的距离相等[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．DABEC(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DE⊥AB∴DE=CD=4cm∵AC=BC∴∠B=∠BAC(等边对等角)∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°=45°．∴BE=DE(等角对等边)．在等腰直角三角形BDE中(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=

4、(4+)cm．[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．DABEC(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE．∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．已知:如图,在Rt△ABC中，∠ACB=900,∠B=600,AD,CE是的角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为M,N.求证:FE=FD.定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.逆定理在一

5、个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).小结拓展OCB1A2PDE课内拓展延伸如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.CBAEDO