角平分线（一）演示文稿

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1、第四节角平分线(一)北师大版九年级数学上册第一章证明(二)如图，在⊿ABC中，CD是⊿ABC的角平分线，E是BC延长线上的一点，CF平分∠ACE，如果∠ACB=50°，那么∠1=————，∠2=————，∠DCF=————ABCDEF12没有条件∠ACB=50°，你还能求得∠DCF吗？想一想角平分线上的点到角两边的距离相等．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．21EDCPOBA角平分线的性质定理DABEC[例1]如图，在△A

2、BC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．思考：如图所示OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?OABEDCPPD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．你能写出这个定理的逆命题吗?用心想一想，马到功成这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在

3、到角两边距离相等的点．角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．这是一个真命题吗?角平分线上的点到角两边的距离相等．已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．21EDCPOBA角平分线的判定定理在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．角平分线的判定定理在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．角平分线上的点到角两边的距离相等．角平分线的性

4、质定理你能用什么办法平分一个已知角呢?用心想一想，马到功成１．可以用量角器．２．使用三角尺，也可以平分一个已知角．３．用直尺和圆规平分一个已知角．放开手脚做一做已知：∠AOB(如图)求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．画一画，想一想1、作ΔABC的∠A与∠B的平分线AE、BF它们的交点为O过点O分别作边AB、AC、BC垂线，垂足分别为D、E、F问OD、OE、OF三条线段有什么关系？ABCODEF∵O在∠A与∠B的平分线AE、BFOD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC∴OD=OF，OD=OE∴OF=O

5、E=OD定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．三角形角平分线的性质定理1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ABCDE2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PO⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.ADOBEPC知识应用比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外

6、一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等[例2]已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．求证：(1)OC=OD；(2)OP是CD的垂直平分线．PDAECOB课堂小结,畅谈收获：(一)角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．(二)角平分线的判定定理在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．(三)用尺规作角平分线．(四)三角形角平分线的性质定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点

7、到三条边的距离相等．