信号与系统 教学课件 作者 王玲花 4章 拉斯分析081101.ppt

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1、第四章拉普拉斯变换分析拉普拉斯变换及其性质常见信号的拉氏变换拉普拉斯逆变换拉氏变换与傅里叶变换的关系系统函数与频率响应特性系统稳定充要条件及稳定判据系统的模拟重点：4.1.1拉普拉斯变换定义4.1拉普拉斯变换f(t)=eatu(t)a>0的傅里叶变换？将f(t)乘以衰减因子e-t，得：不存在!若，则有令推广到一般情况：（s=+j）定义：求傅里叶逆变换原函数拉普拉斯正变换拉普拉斯逆变换原函数拉普拉斯变换符号表示及物理含义：物理意义：信号f(t)可分解成复指数信号est的线性组合。F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。s是复数称为复频率，F(s)称复

2、频谱。符号表示：（正变换）（逆变换）或积分下限定义为零的左极限，目的在于分析和计算时可以直接利用起始给定的0-状态。4.1.2拉普拉斯变换的收敛域（双边拉氏变换）（单边拉氏变换）！（1）（2）求下面各式拉普拉斯变换：例解(1)不同的信号形式却又相同的变换结果，这就是收敛域的缘故。说明1.单边拉普拉斯变换存在的条件（收敛域）对任意信号f(t)，若满足上式，则f(t)应满足：(>0)拉氏变换存在的充要条件为：收敛条件收敛区j0S平面右半平面左半平面O绝对收敛坐标2.双边变换收敛域双边信号可表示为：对左边信号和右边信号分别求其收敛域：右边信号求解类同单边信号；左边信

3、号满足：收敛区j0O3.单、双边拉普拉斯变换收敛域比较特别指出，双边变换含有左边及右边信号时，其收敛域是右图；如果仅是左边信号，则收敛域为左开的；如果仅是右边信号，双边和单边变换收敛域一样，为右开区域。！单边变换收敛域双边变换收敛域计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域收敛域为全S平面不存在不存在例（1）单边指数型函数etu(t)4.2常见信号的拉普拉斯变换同理：（2）正弦信号(3)阶跃函数u(t)由单边指数信号变换结论，则有：(4)单位冲激信号及其高阶导数(5)t的正幂函数tn根据以上推理,可得(n为正整数)常用信号的单边拉氏变换（1）常用信号的单边拉氏变换（2）常

4、用信号的单边拉氏变换（3）常用信号的单边拉氏变换（4）4.3拉普拉斯变换的基本性质拉氏变换的基本性质表（1）线性时域微分时移频移尺度变换频域微分拉氏变换的基本性质表（2）时域积分初值定理终值定理时域卷积频域卷积拉氏变换性质1.线性2.时移性(1)右移性即指平移项右移，否则，依据单边变换定义，就会把横轴左边部分截去，就不满足时移性了。因此，时移性质准确是指右移性。例如：求下面各式的单边拉普拉斯变换解：前两项的单边变换相同，只需把三角函数按三角公式展开，再利用基本变换求解，最后一项利用时移性质可以求解。对应的单边变换为：最后一项对应的单边变换应为：即指信号的左移情况，依照u

5、(t)变化，把信号分解为简单信号之叠加，再对简单信号求解。(2)左移性例：求下面式子的单边拉普拉斯变换；解：两式的单边变换相同，展开三角函数，有由此式可以很容易地求得其对应变换。有(3)求单边周期信号的拉普拉斯变换其中，为的从零处开始取值的第一个周期，使用第一个周期函数依次向右平移并相加，则组成单边周期函数：利用时移性有：单边周期信号可表示为：设解：观察图形的时移关系，有如下对应变换：例：试求图中不同的时移对应变换t0t0t0t0例试求x(t)半波正弦函数的拉氏变换0T/2Ttx(t)E解：先求第一个周期对应的函数如左图，并分解第一个周期函数为xa(t)、xb(t)，如

6、下式：0T/2tx1(t)E0T/2TtE0T/2TtE对应拉氏变换为：因而，半波正弦函数的拉氏变换3.复频域平移移性例:求下式拉氏变换解:由于再根据频移性质有：根据时移性质有：4.尺度变换（比例性）例已知L[x(t)]=X(s)，试求解：先时移性后比例性由时移性再由比例性再由时移性由比例性另解：先比例性后时移性5.复频域微分证明:6.时域微分该性质主要用于研究具有初始条件的微分方程，可以方便地从复频域求解系统的零输入响应和零状态响应，而对于傅里叶变换却没有初态项出现，也就无法直接利用傅里叶变换直接求零输入响应，这是复频域性质的一个优点，在分析连续系统时极其有用。设，则

7、：证明:由定义知同理可得依此类推,可得若f(t)为有始函数，则10t1-10t解：两式的图形如右图，分别求其微分并做拉氏变换如下：例：已知虽然两式的单边变换相同，但所求信号微分项对应的拉氏变换却不同;对于双边变换x2(t)收敛域包括两部分：Re(s)<0（t<0部分），Re(s)>-a（t>0部分）必须有交点。！7.时域积分证明:由定义所以若积分下限由开始例如：已知则8'.复频域积分（补充）证明:若例：求拉氏变换解：所以8.卷积性质证明方法类似于傅里叶变换。利用卷积性质求复杂信号通过线性时不变系统时的响应，可以把复杂信号分解为简单信号的卷