一、y(n)=f(x)型的微分方程.ppt

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1、一、y(n)=f(x)型的微分方程二、y=f(x,y)型的微分方程三、y=f(y,y)型的微分方程§12．6可降阶的高阶微分方程一、y(n)=f(x)型的微分方程积分n次解法:······．例1求微分方程y=e2x-cosx的通解．解对所给方程接连积分三次，得这就是所给方程的通解．例2质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动．设力F仅是时间t的函数:F=F(t)．在开始时刻t=0时F(0)=F0，随着时间t的增大，此力F均匀地减小，直到t=T时，F(T)=0．如果开始时质点位于原点，且初速度为零，求这质点的运动规律．解设x

2、x(t)表示在时刻t时质点的位置，根据牛顿第二定律，质点运动的微分方程为由题设，力F(t)随t增大而均匀地减小，且t0时，F(0)F0，所以F(t)F0kt；又当tT时，F(T)0，从而于是质点运动的微分方程又写为把微分方程两边积分，得再积分一次，得于是所求质点的运动规律为得C1C20．二、y=f(x,y)型的微分方程设y=p则方程化为p=f(x,p)．设p=f(x,p)的通解为p=j(x,C1),则解法:原方程的通解为例3求微分方程(1+x2)y=2xy满足初始条件y

3、x=0=1,y

4、x=0=3的特解．解

5、设yp，代入方程并分离变量，得两边积分，得ln

6、p

7、ln(1x2)C，即pyC1(1x2)(C1eC)．二、y=f(x,y)型的微分方程例3求微分方程(1+x2)y=2xy满足初始条件y

8、x=0=1,y

9、x=0=3的特解．解设yp，代入方程并分离变量，得两边积分，得ln

10、p

11、ln(1x2)C，即pyC1(1x2)(C1eC)．由条件y

12、x=0=3，得C13，所以y3(1x2)．两边再积分，得yx33xC2．又由条件y

13、x=0=1,得C21，于是所求的特解为yx33x

14、1．三、y=f(y,y)型的微分方程设y=p,有解法:原方程化为y=p=j(y,C1),则原方程的通解为例5求微分yy-y2=0的通解．代入方程，得在y0、p0时，约去p并分离变量，得两边积分得ln

15、p

16、ln

17、y

18、C，即pC1y或yC1y(C1eC)．再分离变量并两边积分，便得原方程的通解为ln

19、y

20、C1xC2，三、y=f(y,y)型的微分方程例5求微分yy-y2=0的通解．代入方程，得在y0、p0时，约去p并分离变量，得