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时间:2020-03-12
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1、一、y(n)=f(x)型的微分方程二、y=f(x,y)型的微分方程三、y=f(y,y)型的微分方程§12.6可降阶的高阶微分方程一、y(n)=f(x)型的微分方程积分n次解法:······.例1求微分方程y=e2x-cosx的通解.解对所给方程接连积分三次,得这就是所给方程的通解.例2质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动.设力F仅是时间t的函数:F=F(t).在开始时刻t=0时F(0)=F0,随着时间t的增大,此力F均匀地减小,直到t=T时,F(T)=0.如果开始时质点位于原点,且初速度为零,求这质点的运动规律.解设x
2、x(t)表示在时刻t时质点的位置,根据牛顿第二定律,质点运动的微分方程为由题设,力F(t)随t增大而均匀地减小,且t0时,F(0)F0,所以F(t)F0kt;又当tT时,F(T)0,从而于是质点运动的微分方程又写为把微分方程两边积分,得再积分一次,得于是所求质点的运动规律为得C1C20.二、y=f(x,y)型的微分方程设y=p则方程化为p=f(x,p).设p=f(x,p)的通解为p=j(x,C1),则解法:原方程的通解为例3求微分方程(1+x2)y=2xy满足初始条件y
3、x=0=1,y
4、x=0=3的特解.解
5、设yp,代入方程并分离变量,得两边积分,得ln
6、p
7、ln(1x2)C,即pyC1(1x2)(C1eC).二、y=f(x,y)型的微分方程例3求微分方程(1+x2)y=2xy满足初始条件y
8、x=0=1,y
9、x=0=3的特解.解设yp,代入方程并分离变量,得两边积分,得ln
10、p
11、ln(1x2)C,即pyC1(1x2)(C1eC).由条件y
12、x=0=3,得C13,所以y3(1x2).两边再积分,得yx33xC2.又由条件y
13、x=0=1,得C21,于是所求的特解为yx33x
14、1.三、y=f(y,y)型的微分方程设y=p,有解法:原方程化为y=p=j(y,C1),则原方程的通解为例5求微分yy-y2=0的通解.代入方程,得在y0、p0时,约去p并分离变量,得两边积分得ln
15、p
16、ln
17、y
18、C,即pC1y或yC1y(C1eC).再分离变量并两边积分,便得原方程的通解为ln
19、y
20、C1xC2,三、y=f(y,y)型的微分方程例5求微分yy-y2=0的通解.代入方程,得在y0、p0时,约去p并分离变量,得
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