高考数学人教新课标A版课件 第9篇1-1.ppt

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1、第一讲　相似三角形重点难点重点：平行线截得比例线段定理和相似三角形的判定与性质．难点：相似三角形的判定．知识归纳1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等．⇒1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．⇒2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．⇒平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．⇒平行平面截线段成比例定理：两条直线被三个平行平面所截得对应线段成比例．3．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个

2、三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．(2)判定：①预备定理：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．②判定定理1两角对应相等的两三角形相似．③判定定理2两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似．④引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似．⑤如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．⑥如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．⑦如果一个直角三角形的斜边与一条直角边和另一个直角三角形的斜

3、边与一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似．(3)性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方；外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；内切圆的直径比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．4．直角三角形的射影定理：若Rt△ABC斜边AB上的高为CD，则CD2＝AD·BD，BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB.误区警示1．应用相似三角形的性质时，对应量必须找准(对应边，对应角，对应边上的高、中线，对应的角平分线等等)，牢牢把握对应角对的边是对应边，对应边对的角是对应角．写三角形相似时，要养成习惯把对

4、应顶点放在对应位置上．2．判定两三角形相似时，可以用三边对应成比例，也可以用两角(只要两角对应相等，第三个角也对应相等)对应相等．但两边对应成比例时，必须有夹角相等的条件．1．辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行线截得比例线段定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立几中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．2．比例的性质的应用相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：[例1]求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平

5、行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：连结AC.∵AH＝HD，DG＝GC，∴HG∥AC，HG＝AC.同理EF∥AC，EF＝AC.∴HG綊EF.所以四边形EFGH是平行四边形.[例2]如图，在△ABC中，EF∥CD，∠AFE＝∠B，AE＝6，ED＝3，AF＝8.(1)求AC的长；(2)求的值．分析：由EF∥CD可知，△AEF∽△ADC，或可用平行线分线段成比例定理；由∠AFE＝∠B可知，△ACD∽△AFE∽△ABC.(2)∵EF∥DC，∴∠AFE＝∠ACD，又∠AFE＝∠B，∴∠ACD＝∠B.又∠

6、A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.[例3]如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：AQ⊥PQ.分析：欲证AQ⊥PQ，即证∠AQD＋∠PQC＝90°，∵∠DAQ＋∠AQD＝90°，∴即证∠DAQ＝∠PQC，即证△ADQ∽△QCP，∵∠D＝∠C＝90°，第二个角一时难以找到，结合条件．①正方形ABCD，②Q是CD中点，③BP＝3PC，隐含了边之间存在的比例关系，故应从分析其比例关系入手解决．证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴＝2.∴△ADQ∽△QCP.∴∠PQC＝∠QAD，∴∠AQP＝180°－(∠PQC＋∠AQD)＝180°－(∠QAD

7、＋∠AQD)＝180°－90°＝90°.如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点．AQ⊥PQ.求证：△ADQ∽△QCP.证明：AQ⊥PQ⇒∠AQD＋∠PQC＝90°，∵∠QAD＋∠AQD＝90°，∴∠PQC＝∠QAD得证.[例4]如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为D、E、F.求证：分析：本题中有众多的垂直关系，而待证式为比例线段，故可考虑用射影定理试求．应用射影定理时，务必先考