隐式QR法求实矩阵的全部特征值matlab实现.doc

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1、隐式QR法求实矩阵的全部特征值matlab实现要求：用matlab编写通用子程序，利用隐式QR法求实矩阵的全部特征值和特征向量。思想：隐式QR法实质上就是将一个矩阵Schur化，之后求解特征值就比较方便。而隐式QR法还需要用到household变换，以及上hessenberg变换。最后使用QR迭代，达到Schur化的结果。步骤：1.将矩阵A上hessenberg化（算法6.4.1），送而得到一个上hessenberg形矩阵H；2.可约性判定，也就是判断次对角线元素是否非零，如果次对角线元素非零，则不可约。3.Schur化，也就是通过QR迭代，将矩阵H变化成为某些次

2、对角线元素变成0，同时还要满足，这些元素之间间隔最大为1，那么，所得到的最重的矩阵H就是一个Schur形矩阵。4.假如两个等于0的次对角线元素间隔为0，那么该元素的上面一个元素，也就是H的对角线上的元素，即为其中一个特征值；假如两个等于0的次对角线元素间隔为1，那么在这两个元素之间就形成了一个2*2的矩阵，可以求解一个一元二次方程来得到两个共轭的特征值。实验代码：详见附录2实验结果：（代码相见附录2）（i）设矩阵A如下：求x=0.9,1.0,1.1时的特征值和特征向量。X=0.9：r是特征值，V是特征向量矩阵。X=1：r是特征值，V是特征向量矩阵。X=1.1：r是

3、特征值，V是特征向量矩阵。（ii）求的所有根。附录2隐式QR迭代：主程序：function[r,V]=SchurQR(A)%向量r用来储存特征值%Hessenberg分解:[m,m]=size(A);fork=1:m-2[v,b]=house(A(k+1:m,k));H1=eye(m-k)-b*v*v';H2=eye(m);fori=k+1:mforj=k+1:mH2(i,j)=H1(i-k,j-k);endendifk==1;H=H2;elseH=H*H2;endA(k+1:m,k:m)=H1*A(k+1:m,k:m);A(1:m,k+1:m)=A(1:m,k+

4、1:m)*H1;endu=10e-5;fori=2:m;ifabs(A(i,i-1))<=(abs(A(i,i))+abs(A(i-1,i-1)))*u;A(i,i-1)=0;endend%QR迭代：H22=A;x=Ifreducible(H22);whilex==1H22=Francis(H22);x=Ifreducible(H22);end[r,V]=EigValue(H22);子程序1：function[r,V]=EigValue(A)%计算A的特征值，特征向量[n,n]=size(A);r=zeros(1,n);y=zeros(1,n-1);%y用来储存次

5、对角线元素fori=1:n-1y(i)=A(i+1,i);endm=0;fori=1:n-1ifabs(y(i)-0)<1e-5m=m+1;endendifm==0x=1;elsez=zeros(1,m);%z用来储存值为0的y向量的角标。j=1;i=1;while(i

6、2*2矩阵的特征值j=1;whilej

7、(n-1,n-1)+A(n,n)),A(n-1,n-1)*A(n,n)-A(n-1,n)*A(n,n-1)];r(n-1:n)=roots(p);endelser(1)=A(1,1);j=1;whilej

8、)-1)]