qr基本法和位移qr法矩阵特征值求解

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1、实用标准文案实验一：编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。QR基本法和位移QR法矩阵特征值求解1．QR基本法算法说明:QR基本算法是求矩阵特征值的最有效和应用最广泛的一种方法方法，其基本依据是以下两个定理：1）设A是n阶矩阵，其n个特征值为λ1、λ2、…λm，那么存在一个酉矩阵U使得UTAU是以λ1、λ2、…λm为对角元的上三角矩阵。2）设A是n阶实矩阵，那么，存在一个正交矩阵Q，使得QTAQ为一个准上三角矩阵，它的每一个对角元是A的一个特征值，对角元上的二阶块矩阵的两个特征值是A的一对共轭复特征值。QR基本算法的过程如下：给定循环步数M，AT=A，k=1,2,…M，计算：Ak=QkR

2、kAk+1=RkQkQR基本算法有如下的收敛性质：如果A的特征值满足

3、λ1

4、>

5、λ2

6、>

7、λ2

8、≥…≥

9、λm

10、,则QR基本算法产生的矩阵序列{Ak}基本收敛到上三角矩阵（特别，当A为对称阵时，收敛到对角阵），对角元素收敛到A的特征值。在MATLAB中变成实现的QR基本算法的函数为：qrtz功能：QR基本算法求矩阵全部特征值。调用格式：l=qrtz(A,M).其中，A为已知矩阵；M为迭代步数；L为矩阵A的全部特征值。QR基本算法的流程图：YN输入矩阵A，步数Mi=1i

11、码如下：精彩文档实用标准文案functionl=qrtz(A,M)fori=1:M[q,r]=qr(A);A=r*q;l=diag(A);endtask11.mformatlongA=[1,5,6;4,7,0;8,11,3]l=qrtz(A,20)disp('¾«È·½â')l=eig(A)运行过程和结果：2.位移QR算法位移QR法是为了加快QR算法的收敛速度，其算法的迭代过程如下：给定循环步数M，A1=Hessenberg（A），k=1,2，…M，选择μk，然后计算：Ak-μkI=QkRkAk+1=QkQk+μkI一般μk的选择有以下两种考虑方法：精彩文档实用标准文案（1）选μk=μk，

12、即瑞利商位移；（2）迭代过程中，如果子矩阵akn-1,n-1akn-1,nakn,n-1akn,n的两个特征值为实数时，选最接近akn,n的那个作为μk，即威尔森位移瑞利商位移QR法流程图如下：YN输入矩阵A，步数MA=hess(A)i=1;n=length(A)i

13、数；l为矩阵A的全部特征值瑞利商位移的QR算法的MATLAB程序如下：functionl=rqrtz(A,M)%瑞利商位移QR算法求矩阵全部特征向量¿精彩文档实用标准文案%已知矩阵：A；迭代步数：M；求得的矩阵：l;A=hess(A);N=size(A);n=N(1,1);fori=1:Mu=A(n,n);[q,r]=qr(A-u*eye(n,n));A=r*q+u*eye(n,n);end;l=diag(A);end威尔金森位移的QR算法流程图如下：精彩文档实用标准文案输入矩阵A，步数MYYNNNA=hess(A)i=1;n=length(A)i

14、,n))A=r*q+μ*eye(n,n)i=i+1l=diag(A)l=wilkqrtz(A,M)μ=A(n,n)输出lt=chapoly(A((n-1):n,(n-1):n))获得A((n-1):n,(n-1):n)的特征值t(1,1)与t(2,1)是否为实数

15、t(1,1)-A（n,n）

16、<

17、t(2,1)-A（n,n）

18、?μ=t(1,1)μ=t(2,1)Y在MATLAB中编程实现的威尔金森位移的QR算法的函数为：wilkqrtz功能：威尔金森的QR算法求矩阵全部特征值。调用格式：T=wilkqrtz(A,M)其中，A为已知矩阵；M为迭代步数；l为矩阵A的全部特征值威尔金森的QR算法的MA

19、TLAB程序如下：functionl=wilkqrtz(A,M)%威尔金森位移的QR算法求矩阵全部特征值%已知矩阵：A；迭代步数：M；求的矩阵特征值：l精彩文档实用标准文案A=hess(A);N=size(A);n=N(1,1);fori=1:MA1=A((n-1):n,(n-1):n);t=Chapoly(A1);if(imag(t(1,1))==0&&imagt(2,1)==0)%两特征值是否为实数if(abs(t(