qr方法求矩阵全部特征值

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1、数值分析课程设计QR方法求矩阵全部特征值问题复述用算法求矩阵特征值：（i）（ii）要求：（1）根据算法原理编制求（i）与（ii）中矩阵全部特征值的程序并输出计算结果（要求误差）（2）直接用现有的数学软件求（i），（ii）的全部特征值，并与（1）的结果比较。问题分析QR方法是目前公认为计算矩阵全部特征值的最有效的方法。它适用于任一种实矩。QR方法的原理是利用矩阵的正交分解产生一个与矩阵A相似的矩阵迭代序列，这个序列将收敛于一个上三角阵或拟上三角阵，从而求得原矩阵A的全部特征值。QR是一个迭代算法，每一步迭代都要进行QR分解，再作逆序的矩阵乘法。要是对矩阵A直接用QR方法，计算量

2、太大，效率不高。因此，一个实际的QR方法计算过程包括两个步骤，首先要对矩阵A用初等相似变换约化为上Hessenberg矩阵，再用QR方法求上Hessenberg矩阵的全部特征值。示意如下：对B矩阵的约化只需将每列次对角线上的元素约化为0。因此常常用平面旋转阵（Givens变换阵）来进行约化。一、QR方法原理及收敛性设已实现了QR分解，记其中是正交阵，是上三角阵。因为，用对作正交相似变换有可改写为显然只是的QR分解因子阵的逆序相乘，而且与原矩阵有相同的特征值。对矩阵再重复以上过程并继续下去，可以得到一个与原矩阵A有相同特征值的矩阵序列。其过程如下：记对作正交分解作矩阵，～对作正

3、交分解作矩阵，～～，～重复以上过程可得一般的形式为对作正交分解构成矩阵序列（k=1,2……）～A从矩阵A开始得到一个矩阵序列这个矩阵序列中每一个矩阵都与原矩阵相似，即都有与A相同的特征值。这个矩阵序列在实质上收敛于依次以为对角元的上三角阵。具体可以表示为其中的极限不一定存在。一、用正交相似变换约化矩阵为上Hessenberg阵用Householder变换可以将一个向量指定的某个分量以下的各分量变为0。我们只要求消掉A的次对角线以下的元素，即将A约化为上Hessenberg阵。为了使变换前后矩阵的特征值不变，需要用Householder矩阵对A作相似变换，即用正交阵同时左乘和右

4、乘A时，原来已变为0的元素不再改变。若设是Householder矩阵，用它对A的第一列元素的变换示意如下：依次对A的各列进行类似的变换，一共要进行次变换，最终可以得到一个与原矩阵A有相同特征值的上Hessenberg阵。以上约化A为上Hessenberg阵的过程可以用一系列Householder矩阵来实现。其中，对于每一个有经过步约化就可得到一个上Hessenberg阵（A的第列不需要约化）一、Hessenberg阵的QR算法设矩阵，其特征值都是实数。若已用Householder变换约化为上Hessenberg阵对已得到的上Hessenberg阵可用QR变换，经过迭代过程约化

5、为上三角形矩阵以求出A的特征值。只要A的特征值是实数，将B约化为上三角形矩阵总是可以做到的。由于B矩阵结构上的特点，对B矩阵的约化只需将每列次对角线上的元素约化为0.可用平面旋转阵（Givens变换阵）来进行约化。n阶方阵为平面旋转阵。还是一个非对称的正交阵，有，也是一个平面旋转阵。有以下几种作用：1、左乘向量只改变x的第i个和第j个分量。现构造对x作变换使的结果将x的第j个分量约化为0。令，有调整角可使。若记，按下式选取于是有。2、对非零的n维向量x连续左乘，可将x的第i+1到第n个分量都约化为零；即其中3、用对矩阵A作变换得到的结论是左乘A只改变A的第i,j行；右乘A只改

6、变A的第i,j列；用对A作正交相似变换改变了A的i行和j行以及i列和j列。用一系列连续左乘矩阵A，可以将矩阵A化为上三角阵。数据结构描述主要数据成员说明doubleA[n][n]存放矩阵AdoubleQ[n][n],存放QR分解式的正交矩阵QdoubleR[n][n]存放QR分解式的上三角阵Rdoublep[n][n]Givens矩阵pdoubleI[n][n]N阶单位阵doubleV[n][n]存放Q矩阵的转置doubleT[n][n]初等反射阵Tdoubleeps精度doublemax最大值doubledet存放行列式的值intcount存放迭代次数主要函数成员说明dou

7、bleDet(doubleL[n][n])用高斯列主元方法求行列式intNon_singularMatrix(doubleL[n][n])判断是否是非奇异矩阵voidDisp(doubleH[n][n])输出矩阵intIsZero(doublea[],intj)判断数组是否全为0intsgn(doubley)符号函数voidHessenberg(doubleA[n][n])将矩阵化为上Hessenberg矩阵intIsHessenberg(doubleE[n][n])判断是否是上Hessenberg矩阵