循环矩阵求特征值的方法

《循环矩阵求特征值的方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、1、循环矩阵的定义定义1数域P上的n×n阶矩阵，其中，称为n×n阶循环矩阵，或轮回矩阵。如果取下面的基本循环矩阵A=，则上面的n×n阶循环矩阵可改写为（1）正是由于此时的成立，才能使循环矩阵得以顺利研究。定理1数域P上n×n阶矩阵=为循环矩阵的充分必要条件为，当k=时，，其中u，v，k，=0，1，2，…，n-1。2、循环矩阵的性质由以上循环矩阵的基本矩阵可以得出循环矩阵的各种性质，对于简单的性质不再证明，较为复杂的可以查看参考文献[1]。性质1基本循环矩阵，，，…，是线性无关的。证明：=5=，==，…=，显然，由线性相关的性质可以得出，基本循环矩阵，，，…，

2、是线性无关的。性质2任意n阶循环矩阵都可以用基本循环矩阵线性表示出，即。性质3n阶基本循环矩阵的乘积仍为基本循环矩阵。证明：性质1中已经证过，在次不再赘述。定理2数域P上的所有n×n阶循环矩阵按照矩阵的加法和乘法构成一个向量空间，其基为，，，…，，零向量为n阶零方阵，负向量为-A。证明：对于数域P上的所有n×n阶循环矩阵，很容易证明任意两个循环矩阵相加还是循环矩阵，循环矩阵的任意常数倍还是循环矩阵，那么就得到了这个定理。性质3循环矩阵的乘积还是循环矩阵。证明：设B，都是循环矩阵，则有=，，那么就有乘积B===其中=，则B为循环矩阵。5定理3循环矩阵的伴随矩阵

3、是循环矩阵。证明：设为n阶循环矩阵群，下面分两种情况考虑。（1）当为可逆矩阵时，考察线性方程组=(，0，…，0)'，其系数矩阵的行列式=≠0，故方程组存在唯一的解，设为。令，考虑B===与()'=(，0，…，0)'作比较得，B=A，从而B==，显然B为循环矩阵。（2）当为不可逆矩阵时，考虑,其行列式为t的n次多项式，在域P至多有n个根，当t大于最大的根时，≠0，则矩阵为可逆矩阵，再根据（1），可知伴随矩阵为循环矩阵。所以当满足循环矩阵的充分必要条件k=时，，有。再根据多项式的性质，当,上面的多项式都是相等的，则对于整个实轴多项式都是相等的，特别当t=0时，即

4、，为循环矩阵。定理4循环矩阵的逆矩阵时循环矩阵。3、循环矩阵的逆及特征值循环矩阵的逆矩阵是循环矩阵，即有，其中这里的为（k=0，1，…，n-1）（2）5它是n次二项式方程的n个n次单位根；而是=（3）由以上可以看出，循环矩阵可逆的条件是≠0（k=0，1，…，n-1）。使用式（3）可把式（1）改写为如果，则有此式表明，求的特征值的问题可转化为求A的特征值，它们有相同的特征向量。上式表明A的n个特征值恰是式（2）中的数（k=0，1，…，n-1），相应于的特征向量（可实、可复）是（k=0，1，…，n-1）（4）因时，，所以由式（4）可知有完备的特征向量系。再由矩阵

5、可对角化的理论知，n阶复矩阵使得（5）以上两式表明，在复数域C中，能用一个可逆矩阵，使C上的所有循环矩阵同时与对角矩阵相似。5式（5）表明（k=0，1，…，n-1）是的特征值。由式（5）可求的以及的对角元素的表达式为需要指出的是此式可以作为检查计算出的的特征值是否正确之用。4、利用循环矩阵求特征值的方法求Jacobi矩阵的特征值在数值代数研究中，有时得到如下形式的n阶Jacobi矩阵实行添加一行和一列的方法，可得到如下的n+1阶循环矩阵这样一来，我们可以使用循环矩阵的某些结果来获得的一些结果。下面我们使用循环矩阵求特征值的结果来求的特征值。记则如果，则有5